Упр.10.29 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

a) $$\log_3(x)=4-3\log_x(3)$$;

б) $$\log_4(x)+2=3\log_x(4)$$;

в) $$\log_3(x)-2=3\log_x(3)$$;

г) $$\log_2(x)+6\log_x(2)=5$$.

1. а) Обозначим $$t=\log_3 x.$$ Тогда $$\log_x 3=\frac{1}{\log_3 x}=\frac{1}{t}.$$

   Получаем уравнение

   $$t=4-\frac{3}{t}.$$

   Умножим на $$t$$:

   $$t^2-4t+3=0.$$

   $$\left(t-1\right)\left(t-3\right)=0,$$

   откуда $$t=1$$ или $$t=3.$$

   Тогда

   $$\log_3 x=1 \Rightarrow x=3,$$

   $$\log_3 x=3 \Rightarrow x=27.$$

   Оба значения удовлетворяют ОДЗ: $$x>0,\ x\ne 1.$$

2. б) Пусть $$t=\log_4 x.$$ Тогда $$\log_x 4=\frac{1}{\log_4 x}=\frac{1}{t}.$$

   Имеем

   $$t+2=\frac{3}{t}.$$

   Умножим на $$t$$:

   $$t^2+2t-3=0.$$

   $$\left(t-1\right)\left(t+3\right)=0,$$

   откуда $$t=1$$ или $$t=-3.$$

   Но $$t=\log_4 x$$, а при $$t=-3$$ получаем $$x=4^{-3}=\frac{1}{64}.$$

   Тогда

   $$\log_4 x=1 \Rightarrow x=4,$$

   $$\log_4 x=-3 \Rightarrow x=\frac{1}{64}.$$

3. в) Пусть $$t=\log_3 x.$$ Тогда $$\log_x 3=\frac{1}{t}.$$

   Получаем

   $$t-2=\frac{3}{t}.$$

   Умножим на $$t$$:

   $$t^2-2t-3=0.$$

   $$\left(t-3\right)\left(t+1\right)=0,$$

   откуда $$t=3$$ или $$t=-1.$$

   Тогда

   $$\log_3 x=3 \Rightarrow x=27,$$

   $$\log_3 x=-1 \Rightarrow x=\frac{1}{3}.$$

4. г) Пусть $$t=\log_2 x.$$ Тогда $$\log_x 2=\frac{1}{\log_2 x}=\frac{1}{t}.$$

   Имеем

   $$t+\frac{6}{t}=5.$$

   Умножим на $$t$$:

   $$t^2-5t+6=0.$$

   $$\left(t-2\right)\left(t-3\right)=0,$$

   откуда $$t=2$$ или $$t=3.$$

   Тогда

   $$\log_2 x=2 \Rightarrow x=4,$$

   $$\log_2 x=3 \Rightarrow x=8.$$

Ответ

а) $$x=\{3;27\}$$; б) $$x=\left\{\frac{1}{64};4\right\}$$; в) $$x=\left\{\frac{1}{3};27\right\}$$; г) $$x=\{4;8\}$$.