Упр.10.26 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 10.26
а) $$\left(x-2\right)^{-\frac12}=\left(x-2\right)^{\cos x}$$
Так как основания одинаковые и $$x-2>0$$, приравниваем показатели:
$$-\frac12=\cos x.$$
Тогда
$$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Кроме того, из основания получаем $$x-2>0$$, а при равенстве показателей должно выполняться $$x-2=1$$, то есть $$x=3.$$
Проверка показывает, что подходит также $$x=3$$.
б) $$\sin x=\cos x$$
Делим на $$\cos x$$:
$$\tg x=1.$$
Отсюда
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$x^{\log_{x^2}(2x)}=4$$
Используем свойство $$a^{\log_a b}=b$$ при подходящих условиях:
$$x^{\log_{x^2}(2x)}=\sqrt{4x^2}=4.$$
Но для существования выражения нужно $$x>0$$ и $$x\ne 1$$. При этом из равенства получаем противоречие, поэтому решений нет.
г) $$x^{2-\lg^2 x-\lg x^2}=x^{-1}$$
Так как $$x>0$$, положим $$t=\lg x.$$ Тогда $$\lg x^2=2\lg x=2t$$, и уравнение принимает вид
$$x^{2-t^2-2t}=x^{-1}.$$
При $$x>0$$ и $$x\ne 1$$ приравниваем показатели:
$$2-t^2-2t=-1.$$
Получаем
$$t^2+2t-3=0,$$
$$\left(t-1\right)\left(t+3\right)=0,$$
$$t=1 \quad \text{или} \quad t=-3.$$
Тогда
$$\lg x=1 \Rightarrow x=10,$$
$$\lg x=-3 \Rightarrow x=\frac{1}{1000}.$$
Ответ
а) $$x=3,\ \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; в) решений нет; г) $$x=\frac{1}{1000},\ 10$$.
