Упр.10.25 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

б) log9 (х + 8) = log3(x + 2);
в) log25(9x + 7) = log5(3 + х);
г) log4(x + 9) = log2(x — 3);
д) log2 (х + 3) — log1/2(х + 3) = 4;
е) log3 (х + 2) — log1/3(x + 2) = 2.

Подробный ответ

а) $$\log_2 x=\log_4(x+2)$$
Так как $$\log_4(x+2)=\frac12\log_2(x+2),$$ получаем
$$\log_2 x=\frac12\log_2(x+2).$$
Умножим на $$2$$:
$$2\log_2 x=\log_2(x+2).$$
$$\log_2 x^2=\log_2(x+2).$$
Тогда
$$x^2=x+2,$$
$$x^2-x-2=0,$$
$$ (x-2)(x+1)=0.$$
С учётом ОДЗ $$x>0$$ подходит только $$x=2$$.
б) $$\log_9(x+8)=\log_3(x+2)$$
Так как $$\log_9(x+8)=\frac12\log_3(x+8),$$ имеем
$$\frac12\log_3(x+8)=\log_3(x+2).$$
Умножим на $$2$$:
$$\log_3(x+8)=2\log_3(x+2)=\log_3(x+2)^2.$$
Следовательно,
$$x+8=(x+2)^2,$$
$$x^2+3x-4=0,$$
$$ (x+4)(x-1)=0.$$
По ОДЗ $$x>-2$$, значит подходит только $$x=1$$.
в) $$\log_{25}(9x+7)=\log_5(x+3)$$
Так как $$\log_{25}(9x+7)=\frac12\log_5(9x+7),$$ получаем
$$\frac12\log_5(9x+7)=\log_5(x+3).$$
Умножим на $$2$$:
$$\log_5(9x+7)=2\log_5(x+3)=\log_5(x+3)^2.$$
Тогда
$$9x+7=(x+3)^2,$$
$$x^2-3x+2=0,$$
$$ (x-1)(x-2)=0.$$
С учётом ОДЗ $$x>-\frac79$$ оба корня подходят.
г) $$\log_4(x+9)=\log_2(x-3)$$
Преобразуем левую часть:
$$\log_4(x+9)=\frac12\log_2(x+9).$$
Тогда
$$\frac12\log_2(x+9)=\log_2(x-3).$$
Умножим на $$2$$:
$$\log_2(x+9)=2\log_2(x-3)=\log_2(x-3)^2.$$
Следовательно,
$$x+9=(x-3)^2,$$
$$x^2-7x=0,$$
$$x(x-7)=0.$$
По ОДЗ $$x>3$$, значит подходит только $$x=7$$.
д) $$\log_2(x+3)-\log_{1/2}(x+3)=4$$
Так как $$\log_{1/2}(x+3)=-\log_2(x+3),$$ получаем
$$\log_2(x+3)+\log_2(x+3)=4,$$
$$2\log_2(x+3)=4,$$
$$\log_2(x+3)=2,$$
$$x+3=4,$$
$$x=1.$$
ОДЗ: $$x>-3$$, условие выполнено.
е) $$\log_3(x+2)-\log_{1/3}(x+2)=2$$
Так как $$\log_{1/3}(x+2)=-\log_3(x+2),$$ имеем
$$\log_3(x+2)+\log_3(x+2)=2,$$
$$2\log_3(x+2)=2,$$
$$\log_3(x+2)=1,$$
$$x+2=3,$$
$$x=1.$$
ОДЗ: $$x>-2$$, условие выполнено.