Упр.10.23 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 10.23* Докажите справедливость утверждений о потенцировании и логарифмировании уравнений, о приведении подобных членов и о применении формул. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 nikol11 10-23 118
Докажем равносильность уравнений
$$\log_a f(x)=\log_a g(x), \qquad f(x)=g(x), \qquad a>0,\ a\ne 1.$$
Если число $$x_0$$ является решением уравнения $$\log_a f(x)=\log_a g(x),$$ то на области определения выполняется
$$\log_a f(x_0)=\log_a g(x_0).$$
Так как логарифмическая функция при $$a>0,\ a\ne 1$$ взаимно однозначна, то отсюда следует
$$f(x_0)=g(x_0).$$
Значит, любое решение первого уравнения является решением второго.
Обратно, если $$x_1$$ — решение уравнения $$f(x)=g(x),$$ то на области определения
$$f(x_1)=g(x_1),$$
и после логарифмирования получаем
$$\log_a f(x_1)=\log_a g(x_1).$$
Следовательно, любое решение уравнения $$f(x)=g(x)$$ является решением уравнения $$\log_a f(x)=\log_a g(x).$$
Итак, уравнения равносильны.
Докажем равносильность уравнений
$$f(x)+\varphi(x)-\varphi(x)=0 \qquad \text{и} \qquad f(x)=0.$$
Если $$x_0$$ — решение уравнения $$f(x)+\varphi(x)-\varphi(x)=0,$$ то
$$f(x_0)+\varphi(x_0)-\varphi(x_0)=0,$$
а так как $$\varphi(x_0)-\varphi(x_0)=0,$$ то
$$f(x_0)=0.$$
Значит, любое решение первого уравнения является решением второго.
Обратно, если $$x_1$$ — решение уравнения $$f(x)=0,$$ то
$$f(x_1)=0,$$
и потому
$$f(x_1)+\varphi(x_1)-\varphi(x_1)=0.$$
Следовательно, любое решение уравнения $$f(x)=0$$ является решением уравнения $$f(x)+\varphi(x)-\varphi(x)=0.$$
Итак, уравнения равносильны.
Если на множестве $$M$$ определены обе части некоторой формулы и эта формула является тождеством, то соответствующее уравнение равносильно данному тождеству. Поэтому при преобразованиях, основанных на применении формул, можно заменять одну часть выражения другой, не изменяя множества решений.
Ответ
Утверждения о потенцировании и логарифмировании уравнений, о приведении подобных членов и о применении формул справедливы, так как соответствующие преобразования сохраняют множество решений и являются равносильными.
