Упр.10.21 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$3\cos x+4\sin x=0$$; б) $$2\sin x-\cos x=0$$; в) $$2\sin^2 x-3\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$; г) $$3\sin^2 x-5\sin x\cos x+2\cos^2 x=0$$.

1. а) $$3\cos x+4\sin x=0$$

   При $$\cos x\neq 0$$ разделим обе части на $$\cos x$$:

   $$3+4\tg x=0$$

   $$\tg x=-\frac34$$

   $$x=-\arctg\frac34+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) $$2\sin x-\cos x=0$$

   При $$\cos x\neq 0$$ разделим обе части на $$\cos x$$:

   $$2\tg x-1=0$$

   $$\tg x=\frac12$$

   $$x=\arctg\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. в) $$2\sin^2 x-3\sin x\cos x+\cos^2 x=0$$

   При $$\cos x\neq 0$$ разделим обе части на $$\cos^2 x$$:

   $$2\tg^2 x-3\tg x+1=0$$

   $$D=9-8=1$$

   $$\tg x=\frac{3\pm 1}{4}$$

   $$\tg x=\frac12 \quad \text{или} \quad \tg x=1$$

   Следовательно,

   $$x=\arctg\frac12+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

4. г) $$3\sin^2 x-5\sin x\cos x+2\cos^2 x=0$$

   При $$\cos x\neq 0$$ разделим обе части на $$\cos^2 x$$:

   $$3\tg^2 x-5\tg x+2=0$$

   $$D=25-24=1$$

   $$\tg x=\frac{5\pm 1}{6}$$

   $$\tg x=\frac23 \quad \text{или} \quad \tg x=1$$

   Значит,

   $$x=\arctg\frac23+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=-\arctg\frac34+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\arctg\frac12+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

в) $$x=\arctg\frac12+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

г) $$x=\arctg\frac23+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$