Упр.10.10 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) 1 — sin x = |cosx |;
в) корень (1- cos x) = | sin x |;
г) корень (1 + sin x) = | cos x |.

1. а) $$1+\cos x=|\sin x|$$

   Обе части уравнения неотрицательны, поэтому возведём в квадрат:

   $$ (1+\cos x)^2=\sin^2 x $$
   $$ 1+2\cos x+\cos^2 x=\sin^2 x $$
   $$ 1+2\cos x+\cos^2 x-(1-\cos^2 x)=0 $$
   $$ 2\cos x+2\cos^2 x=0 $$
   $$ 2\cos x(1+\cos x)=0 $$

   Отсюда:

   $$ \cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=-1 $$

   $$ x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z $$
   $$ x=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb Z $$

2. б) $$1-\sin x=|\cos x|$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$ (1-\sin x)^2=\cos^2 x $$
   $$ 1-2\sin x+\sin^2 x=\cos^2 x $$
   $$ 1-2\sin x+\sin^2 x-(1-\sin^2 x)=0 $$
   $$ 2\sin x-\sin^2 x=0 $$
   $$ \sin x(2-\sin x)=0 $$

   Так как $$\sin x=2$$ невозможно, остаётся:

   $$ \sin x=0 $$
   $$ x=\pi k,\ k\in\mathbb Z $$

3. в) $$\sqrt{1-\cos x}=|\sin x|$$

   Обе части неотрицательны, возведём в квадрат:

   $$ 1-\cos x=\sin^2 x $$
   $$ 1-\cos x=1-\cos^2 x $$
   $$ \cos^2 x-\cos x=0 $$
   $$ \cos x(\cos x-1)=0 $$

   Следовательно,

   $$ \cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1 $$

   $$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z $$
   $$ x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z $$

4. г) $$\sqrt{1+\sin x}=|\cos x|$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$ 1+\sin x=\cos^2 x $$
   $$ 1+\sin x=1-\sin^2 x $$
   $$ 2\sin x-\sin^2 x=0 $$
   $$ \sin x(2-\sin x)=0 $$

   Так как $$\sin x=2$$ невозможно, получаем:

   $$ \sin x=0 $$
   $$ x=\pi k,\ k\in\mathbb Z $$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z;\ \ x=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

б) $$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

в) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\ \ x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

г) $$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z$$