Упр.10.10 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) $$1+\cos x=|\sin x|$$;

б) $$1-\sin x=|\cos x|$$;

в) $$\sqrt{1-\cos x}=|\sin x|$$;

г) $$\sqrt{1+\sin x}=|\cos x|$$.

1. а) $$1+\cos x=|\sin x|$$

   Обе части уравнения неотрицательны, поэтому возведём в квадрат:

   $$(1+\cos x)^2=\sin^2 x$$
   $$1+2\cos x+\cos^2 x=\sin^2 x$$
   $$1+2\cos x+\cos^2 x-(1-\cos^2 x)=0$$
   $$2\cos x+2\cos^2 x=0$$
   $$2\cos x(1+\cos x)=0$$

   Отсюда:

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=-1$$

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$$
   $$x=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

2. б) $$1-\sin x=|\cos x|$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$(1-\sin x)^2=\cos^2 x$$
   $$1-2\sin x+\sin^2 x=\cos^2 x$$
   $$1-2\sin x+\sin^2 x-(1-\sin^2 x)=0$$
   $$2\sin x-\sin^2 x=0$$
   $$\sin x(2-\sin x)=0$$

   Так как $$\sin x=2$$ невозможно, остаётся:

   $$\sin x=0$$
   $$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

3. в) $$\sqrt{1-\cos x}=|\sin x|$$

   Обе части неотрицательны, возведём в квадрат:

   $$1-\cos x=\sin^2 x$$
   $$1-\cos x=1-\cos^2 x$$
   $$\cos^2 x-\cos x=0$$
   $$\cos x(\cos x-1)=0$$

   Следовательно,

   $$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1$$

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
   $$x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

4. г) $$\sqrt{1+\sin x}=|\cos x|$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$1+\sin x=\cos^2 x$$
   $$1+\sin x=1-\sin^2 x$$
   $$2\sin x-\sin^2 x=0$$
   $$\sin x(2-\sin x)=0$$

   Так как $$\sin x=2$$ невозможно, получаем:

   $$\sin x=0$$
   $$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb Z;\ \ x=\pi+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

б) $$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

в) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\ \ x=2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$

г) $$x=\pi k,\ k\in\mathbb Z$$