Упр.10.2 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) (x2+x-2)/(х + 2) = 0 и х2 + х — 2 = 0;
б) корень x = 1 и х2 — 1;
в) х3 + 2х2 — 1 = 0 и (корень х)(х3 + 2х2 — 1) = 0;
г) х2 + 5х + корень х = (корень x) — 4 и х2 + 5х + 4 = 0;
д) lg(x2 — 1) = lgx и х2 — 1 = x;
е) log2x + log2(x + 2) = 3 и log2x(x + 2) = 3;
ж) log2 х log2 (x — 3) = 2 и log2 x/(x-3)= 2;
з)

1. а) В первом уравнении знаменатель не должен обращаться в нуль, значит $$x+2\ne 0,$$ то есть $$x\ne -2.$$

   При $$x\ne -2$$ уравнение

   $$\frac{x^2+x-2}{x+2}=0$$

   равносильно уравнению $$x^2+x-2=0.$$

   Следовательно, равносильность выполняется на множестве

   $$M=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty).$$

2. б) Уравнение $$\sqrt{x}=1$$ определено при $$x\ge 0.$$

   Уравнение $$x^2=1$$ имеет смысл при всех $$x,$$ но для равносильности нужно учитывать область определения первого уравнения.

   Значит,

   $$M=[0;+\infty).$$

3. в) Уравнение $$\sqrt{x}\,(x^3+2x^2-1)=0$$ определено при $$x\ge 0.$$

   На этом множестве оно равносильно уравнению $$x^3+2x^2-1=0,$$ так как множитель $$\sqrt{x}$$ может обращаться в нуль только при $$x=0,$$ а это значение уже входит в область определения.

   Следовательно,

   $$M=[0;+\infty).$$

4. г) В уравнении $$x^2+5x+\sqrt{x}=\sqrt{x}-4$$ необходимо, чтобы $$x\ge 0.$$

   После сокращения одинаковых слагаемых получаем

   $$x^2+5x+4=0.$$

   Значит, равносильность выполняется при

   $$M=[0;+\infty).$$

5. д) Для уравнения $$\lg(x^2-1)=\lg x$$ нужны условия

   $$x^2-1>0,\qquad x>0.$$

   Из них получаем

   $$x>1.$$

   Следовательно,

   $$M=(1;+\infty).$$

6. е) Для уравнения $$\log_2 x+\log_2(x+2)=3$$ нужны условия

   $$x>0,\qquad x+2>0.$$

   Второе условие выполняется автоматически при $$x>0,$$ поэтому

   $$M=(0;+\infty).$$

7. ж) Для уравнения $$\log_2 x\cdot \log_2(x-3)=2$$ нужны условия

   $$x>0,\qquad x-3>0.$$

   Отсюда

   $$x>3.$$

   Значит,

   $$M=(3;+\infty).$$

8. з) Для уравнения $$\log_2 x\cdot \log_2(x-3)=2$$ область определения задаётся условиями

   $$x>0,\qquad x-3>0,$$

   то есть

   $$x>3.$$

   Следовательно,

   $$M=(3;+\infty).$$

Ответ

а) $$(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty)$$; б) $$[0;+\infty)$$; в) $$[0;+\infty)$$; г) $$[0;+\infty)$$; д) $$ (1;+\infty)$$; е) $$ (0;+\infty)$$; ж) $$ (3;+\infty)$$; з) $$ (3;+\infty).$$