Упр.10.19 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 10.19

Рассмотрим область определения исходного уравнения:

$$-x^2+4x-3>0$$

$$x^2-4x+3<0$$

$$ (x-1)(x-3)<0 $$

$$x\in(1;3).$$

На этом множестве функция $$\sqrt{-x^2+4x-3}$$ определена и не равна нулю, поэтому можно умножить обе части уравнения на этот корень:

$$\frac{2\sin x}{\sqrt{-x^2+4x-3}}=\frac{1}{\sqrt{-x^2+4x-3}}$$

Получаем равносильное на $$ (1;3) $$ уравнение:

$$2\sin x=1.$$

Тогда

$$\sin x=\frac12.$$

Общее решение:

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Из этих значений в промежуток $$ (1;3) $$ попадает только

$$x=\frac{5\pi}{6}.$$

Ответ

$$\frac{5\pi}{6}$$