Упр.10.18 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 10.18

1. а) Умножим уравнение на функцию $$\varphi(x)=(|2x-1|+|x|)(|x-2|+|x|)\neq 0$$ при каждом $$x\in \mathbb{R}$$.

   Получим равносильное уравнение:

   $$ (x-2)^2-x^2=(2x-1)^2-x^2 $$
   $$ (x-2)^2-(2x-1)^2=0 $$
   $$ \bigl((x-2)-(2x-1)\bigr)\bigl((x-2)+(2x-1)\bigr)=0 $$
   $$ (-x-1)(3x-3)=0 $$
   $$ x=-1 \text{ или } x=1 $$

2. б) Умножим уравнение на функцию $$\varphi(x)=(|3x-2|+|x|)(|2x-3|+|x|)\neq 0$$ при каждом $$x\in \mathbb{R}$$.

   Получим равносильное уравнение:

   $$ (2x-3)^2-x^2=(3x-2)^2-x^2 $$
   $$ (2x-3)^2-(3x-2)^2=0 $$
   $$ \bigl((2x-3)-(3x-2)\bigr)\bigl((2x-3)+(3x-2)\bigr)=0 $$
   $$ (-x-1)(5x-5)=0 $$
   $$ x=-1 \text{ или } x=1 $$

3. в) Умножим уравнение на функцию $$\varphi(x)=\bigl(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x}\bigr)\bigl(\sqrt{3x+5}+\sqrt{x}\bigr)\neq 0$$ при каждом $$x\ge 0$$.

   Получим уравнение:

   $$ 3x+5-x=x^2+1-x $$
   $$ x^2-3x-4=0 $$
   $$ (x-4)(x+1)=0 $$
   $$ x=4 \text{ или } x=-1 $$

   С учётом условия $$x\ge 0$$ подходит только $$x=4$$.

4. г) Умножим уравнение на функцию $$\varphi(x)=\bigl(\sqrt{x^2+3}+\sqrt{x}\bigr)\bigl(\sqrt{2x+4}+\sqrt{x}\bigr)\neq 0$$ при каждом $$x\ge 0$$.

   Получим уравнение:

   $$ 2x+4-x=x^2+3-x $$
   $$ x^2-2x+1=0 $$
   $$ (x-1)^2=0 $$
   $$ x=1 $$

Ответ

а) $$-1,\,1$$; б) $$-1,\,1$$; в) $$4$$; г) $$1$$.