Упр.10.17 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) (x+1)(x2+1)(x4+1)=x7.

а) Рассмотрим уравнение

$$ (x-1)(x^2+1)(x^4+1)=x^7. $$

Домножим обе части на $$x+1$$:

$$ (x+1)(x-1)(x^2+1)(x^4+1)=x^7(x+1). $$

Используем формулу разности квадратов:

$$ (x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)=x^7(x+1), $$

$$ (x^4-1)(x^4+1)=x^7(x+1), $$

$$ x^8-1=x^8+x^7. $$

Тогда

$$ x^7=-1, $$

откуда

$$ x=-1. $$

Проверка: при $$x=-1$$ левая часть исходного уравнения равна

$$ (-2)\cdot 2 \cdot 2=-8, $$

а правая часть

$$ (-1)^7=-1. $$

Значит, $$x=-1$$ не является корнем исходного уравнения. Следовательно, решений нет.

б) Рассмотрим уравнение

$$ (x+1)(x^2+1)(x^4+1)=x^7. $$

Домножим обе части на $$x-1$$:

$$ (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)=x^7(x-1). $$

Тогда

$$ (x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)=x^7(x-1), $$

$$ (x^4-1)(x^4+1)=x^7(x-1), $$

$$ x^8-1=x^8-x^7. $$

Получаем

$$ x^7=1, $$

откуда

$$ x=1. $$

Проверка: при $$x=1$$ исходное уравнение верно.

Ответ

а) решений нет; б) $$x=1$$.