Упр.10.16 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 10.16

а) Рассмотрим уравнение

$$ (x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)=\frac{x^{16}+x^2-5x+3}{x-1}. $$

Область допустимых значений: $$x\ne 1.$$

Умножим обе части на $$x-1$$:

$$ (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)=x^{16}+x^2-5x+3. $$

Последовательно применим формулу разности квадратов:

$$ (x-1)(x+1)=x^2-1, $$

$$ (x^2-1)(x^2+1)=x^4-1, $$

$$ (x^4-1)(x^4+1)=x^8-1, $$

$$ (x^8-1)(x^8+1)=x^{16}-1. $$

Тогда получаем:

$$ x^{16}-1=x^{16}+x^2-5x+3. $$

Перенесём всё в одну сторону:

$$ x^2-5x+4=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ x^2-5x+4=(x-1)(x-4)=0. $$

Отсюда $$x=1$$ или $$x=4$$. Но $$x=1$$ не подходит по ОДЗ, значит остаётся $$x=4$$.

б) Рассмотрим уравнение

$$ (x-1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)=\frac{x^{16}+x^2+5x+3}{x+1}. $$

Область допустимых значений: $$x\ne -1.$$

Умножим обе части на $$x+1$$:

$$ (x+1)(x-1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)=x^{16}+x^2+5x+3. $$

Снова используем формулу разности квадратов:

$$ (x+1)(x-1)=x^2-1, $$

$$ (x^2-1)(x^2+1)=x^4-1, $$

$$ (x^4-1)(x^4+1)=x^8-1, $$

$$ (x^8-1)(x^8+1)=x^{16}-1. $$

Получаем:

$$ x^{16}-1=x^{16}+x^2+5x+3. $$

Переносим всё в одну сторону:

$$ x^2+5x+4=0. $$

Решим уравнение:

$$ x^2+5x+4=(x+1)(x+4)=0. $$

Отсюда $$x=-1$$ или $$x=-4$$. Значение $$x=-1$$ не подходит по ОДЗ, значит $$x=-4$$.

Ответ

а) $$4$$; б) $$-4$$.