Упр.10.15 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 11 класс, Просвещение: 10.15

Подробный ответ

а) Рассмотрим уравнение
$$\frac{2\sqrt{0,5-x}}{(x-4)(x+1)}=\frac{\sqrt{0,5-x}}{(x-2)(x+2)}.$$
ОДЗ:
$$0,5-x\ge 0,\quad x\ne 4,\,-1,\,2,\,-2.$$
Умножим обе части на $$ (x-4)(x+1)(x-2)(x+2) $$:
$$2\sqrt{0,5-x}(x-2)(x+2)=\sqrt{0,5-x}(x-4)(x+1).$$
Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:
$$\sqrt{0,5-x}\bigl(2(x^2-4)-(x^2-3x-4)\bigr)=0.$$
Тогда
$$\sqrt{0,5-x}(x^2+3x-4)=0.$$
Отсюда
$$0,5-x=0 \quad \text{или} \quad x^2+3x-4=0.$$
Получаем:
$$x=0,5,\quad x=-4,\quad x=1.$$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=0,5$$ и $$x=-4$$.
б) Рассмотрим уравнение
$$\frac{4\sqrt{x-10}}{(x-4)(x+3)}=\frac{3\sqrt{x-10}}{(x-3)(x-2)}.$$
ОДЗ:
$$x-10\ge 0,\quad x\ne 4,\,-3,\,3,\,2.$$
Умножим обе части на $$ (x-4)(x+3)(x-3)(x-2) $$:
$$4\sqrt{x-10}(x-3)(x-2)=3\sqrt{x-10}(x-4)(x+3).$$
Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:
$$\sqrt{x-10}\bigl(4(x-3)(x-2)-3(x-4)(x+3)\bigr)=0.$$
После раскрытия скобок:
$$\sqrt{x-10}(x^2-17x+60)=0.$$
Следовательно,
$$x-10=0 \quad \text{или} \quad x^2-17x+60=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$x^2-17x+60=(x-5)(x-12)=0,$$
откуда $$x=5$$ или $$x=12$$.
С учётом ОДЗ подходит только $$x=12$$.
в) Рассмотрим уравнение
$$\frac{(x-1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)}{1}=\frac{x^{16}+x^2+5x+3}{x+1}.$$
ОДЗ:
$$x\ne -1.$$
Умножим обе части на $$x+1$$:
$$ (x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)=x^{16}+x^2+5x+3.$$
Используем последовательные тождества:
$$ (x-1)(x+1)=x^2-1, $$
$$ (x^2-1)(x^2+1)=x^4-1, $$
$$ (x^4-1)(x^4+1)=x^8-1, $$
$$ (x^8-1)(x^8+1)=x^{16}-1. $$
Тогда получаем:
$$x^{16}-1=x^{16}+x^2+5x+3.$$
Следовательно,
$$x^2+5x+4=0,$$
$$ (x+1)(x+4)=0. $$
Корни: $$x=-1$$ и $$x=-4$$. Но $$x=-1$$ не подходит по ОДЗ.