Упр.10.13 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) корень 3 степени (5-2x) = корень (3-x);
в) корень 3 степени (x+1) = корень (x-3);
г) корень 3 степени (2x+3) = корень (x+2).

1. а)

   $$\sqrt[3]{3-2x}=\sqrt{2-x}$$
   Возведём обе части в шестую степень:
   $$ \begin{aligned} (\sqrt[3]{3-2x})^6&=(\sqrt{2-x})^6,\\ (3-2x)^2&=(2-x)^3. \end{aligned} $$
   С учётом ОДЗ:
   $$ 3-2x\ge 0,\quad 2-x\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le \frac32. $$
   Получаем:
   $$ \begin{aligned} 9-12x+4x^2&=8-12x+6x^2-x^3,\\ x^3-2x^2+1&=0,\\ (x-1)(x^2-x-1)&=0. \end{aligned} $$
   Тогда
   $$ x=1,\quad x=\frac{1-\sqrt5}{2},\quad x=\frac{1+\sqrt5}{2}. $$
   С учётом $x\le \frac32$ все найденные корни подходят.

2. б)

   $$\sqrt[3]{5-2x}=\sqrt{3-x}$$
   Возведём обе части в шестую степень:
   $$ \begin{aligned} (\sqrt[3]{5-2x})^6&=(\sqrt{3-x})^6,\\ (5-2x)^2&=(3-x)^3. \end{aligned} $$
   ОДЗ:
   $$ 5-2x\ge 0,\quad 3-x\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le \frac52. $$
   Тогда
   $$ \begin{aligned} 25-20x+4x^2&=27-27x+9x^2-x^3,\\ x^3-5x^2+7x-2&=0,\\ (x-2)(x^2-3x+1)&=0. \end{aligned} $$
   Отсюда
   $$ x=2,\quad x=\frac{3-\sqrt5}{2},\quad x=\frac{3+\sqrt5}{2}. $$
   С учётом $x\le \frac52$ подходит только
   $$ x=2,\quad x=\frac{3-\sqrt5}{2}. $$

3. в)

   $$\sqrt[3]{x+1}=\sqrt{x-3}$$
   Возведём обе части в шестую степень:
   $$ \begin{aligned} (\sqrt[3]{x+1})^6&=(\sqrt{x-3})^6,\\ (x+1)^2&=(x-3)^3. \end{aligned} $$
   ОДЗ:
   $$ x+1\ge 0,\quad x-3\ge 0 \;\Rightarrow\; x\ge 3. $$
   Получаем:
   $$ \begin{aligned} x^2+2x+1&=x^3-9x^2+27x-27,\\ x^3-10x^2+25x-28&=0,\\ (x-7)(x^2-3x+4)&=0. \end{aligned} $$
   Из этого уравнения подходит только
   $$ x=7. $$

4. г)

   $$\sqrt[3]{2x+3}=\sqrt{x+2}$$
   Возведём обе части в шестую степень:
   $$ \begin{aligned} (\sqrt[3]{2x+3})^6&=(\sqrt{x+2})^6,\\ (2x+3)^2&=(x+2)^3. \end{aligned} $$
   ОДЗ:
   $$ 2x+3\ge 0,\quad x+2\ge 0 \;\Rightarrow\; x\ge -\frac32. $$
   Тогда
   $$ \begin{aligned} 4x^2+12x+9&=x^3+6x^2+12x+8,\\ x^3+2x^2-1&=0,\\ x^3+x^2+(x-1)^2&=0,\\ (x+1)(x^2+x-1)&=0. \end{aligned} $$
   Отсюда
   $$ x=-1,\quad x=\frac{-1-\sqrt5}{2},\quad x=\frac{-1+\sqrt5}{2}. $$
   С учётом $x\ge -\frac32$ подходит
   $$ x=-1,\quad x=\frac{-1+\sqrt5}{2}. $$

Ответ

а) $$x=1,\ \frac{1-\sqrt5}{2},\ \frac{1+\sqrt5}{2}$$

б) $$x=2,\ \frac{3-\sqrt5}{2}$$

в) $$x=7$$

г) $$x=-1,\ \frac{-1+\sqrt5}{2}$$