Упр.10.12 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sqrt[3]{x}=\sqrt{x-4}$$; б) $$\sqrt[3]{x}=\sqrt{2-x}$$; в) $$\sqrt[3]{x+3}=\sqrt{x-1}$$; г) $$\sqrt[3]{x+2}=\sqrt{-x}$$.

1. а) Рассмотрим уравнение

   $$\sqrt[3]{x}=\sqrt{x-4}.$$

   Возведём обе части в шестую степень, учитывая ОДЗ: $$x\ge 0,\quad x-4\ge 0.$$ Тогда

   $$x^2=(x-4)^3.$$

   Получаем

   $$x^3-13x^2+48x-64=0.$$

   Проверка показывает, что $$x=8$$ — корень. Разложим многочлен на множители:

   $$x^3-13x^2+48x-64=(x-8)(x^2-5x+8).$$

   Уравнение $$x^2-5x+8=0$$ действительных корней не имеет, поэтому

   $$x=8.$$

2. б) Рассмотрим уравнение

   $$\sqrt[3]{x}=\sqrt{2-x}.$$

   ОДЗ: $$x\ge 0,\quad 2-x\ge 0,$$ значит $$x\in[0;2].$$ Возводим в шестую степень:

   $$x^2=(2-x)^3.$$

   Тогда

   $$x^3-5x^2+12x-8=0.$$

   Проверка даёт корень $$x=1$$. Разложим на множители:

   $$x^3-5x^2+12x-8=(x-1)(x^2-4x+8).$$

   Уравнение $$x^2-4x+8=0$$ действительных корней не имеет, значит

   $$x=1.$$

3. в) Рассмотрим уравнение

   $$\sqrt[3]{x+3}=\sqrt{x-1}.$$

   ОДЗ: $$x+3\ge 0,\quad x-1\ge 0,$$ значит $$x\ge 1.$$ Возводим в шестую степень:

   $$(x+3)^2=(x-1)^3.$$

   Получаем

   $$x^3-4x^2-3x-10=0.$$

   Проверка показывает, что $$x=5$$ — корень. Разложим на множители:

   $$x^3-4x^2-3x-10=(x-5)(x^2+x+2).$$

   Уравнение $$x^2+x+2=0$$ действительных корней не имеет, поэтому

   $$x=5.$$

4. г) Рассмотрим уравнение

   $$\sqrt[3]{x+2}=\sqrt{-x}.$$

   ОДЗ: $$x+2\ge 0,\quad -x\ge 0,$$ значит $$x\in[-2;0].$$ Возводим в шестую степень:

   $$(x+2)^2=-x^3.$$

   Тогда

   $$x^3+x^2+4x+4=0.$$

   Разложим на множители:

   $$x^3+x^2+4x+4=(x+1)(x^2+4).$$

   Отсюда

   $$x=-1.$$

Ответ

а) $$x=8$$; б) $$x=1$$; в) $$x=5$$; г) $$x=-1$$.