Упр.10 Повторение ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

10 a) arccos(sin 5) + arcsin (cos 5); б) arctg(ctg4) + arcctg(-tg4).

а) Обозначим

$$A=\arccos(\sin 5)+\arcsin(\cos 5).$$

Так как $$\sin 5=\cos\left(\frac{5\pi}{2}-5\right),$$ то

$$\arccos(\sin 5)=\frac{5\pi}{2}-5.$$

А так как $$\cos 5=\sin\left(5-\frac{3\pi}{2}\right),$$ то

$$\arcsin(\cos 5)=5-\frac{3\pi}{2}.$$

Тогда

$$A=\frac{5\pi}{2}-5+5-\frac{3\pi}{2}=\pi.$$

б) Обозначим

$$B=\arctg(\ctg 4)+\arcctg(-\tg 4).$$

Найдём каждое слагаемое.

Пусть $$\alpha=\arctg(\ctg 4).$$ Тогда $$\tg \alpha=\ctg 4=\tg\left(\frac{\pi}{2}-4\right).$$

С учётом того, что $$\alpha\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right),$$ получаем

$$\alpha=\frac{\pi}{2}-4+\pi n.$$

Из условия

$$-\frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{2}-4+\pi n<\frac{\pi}{2}$$

следует $$n=1$$, значит

$$\arctg(\ctg 4)=\frac{3\pi}{2}-4.$$

Теперь найдём $$\arcctg(-\tg 4).$$ Пусть

$$\beta=\arcctg(-\tg 4).$$

Тогда $$\ctg \beta=-\tg 4=\ctg\left(\frac{\pi}{2}+4\right).$$

С учётом того, что $$\beta\in(0,\pi),$$ имеем

$$\beta=\frac{\pi}{2}+4+\pi n.$$

Из условия

$$0<\frac{\pi}{2}+4+\pi n<\pi$$

получаем $$n=-1$$, значит

$$\arcctg(-\tg 4)=\frac{3\pi}{2}+4-\pi=\frac{\pi}{2}+4.$$

Тогда

$$B=\left(\frac{3\pi}{2}-4\right)+\left(\frac{\pi}{2}+4\right)=2\pi.$$

Ответ

а) $$\pi$$; б) $$2\pi$$.