Упр.1.88 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{x+4}-\sqrt{x}.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Построим в одной системе координат графики функций $$y=\sqrt{x+4}$$ и $$y=-\sqrt{x}$$ на общей части их областей определения. Для каждого значения $$x\ge 0$$ ордината графика исходной функции равна сумме ординат этих графиков.

Преобразуем выражение:

$$y=\sqrt{x+4}-\sqrt{x} =\frac{(\sqrt{x+4}-\sqrt{x})(\sqrt{x+4}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x}} =\frac{4}{\sqrt{x+4}+\sqrt{x}}.$$

Так как знаменатель возрастает при увеличении $$x$$, то функция $$y$$ убывает на $$[0;+\infty)$$.

При $$x=0$$ получаем:

$$y=\sqrt{4}-\sqrt{0}=2.$$

При $$x\to+\infty$$ имеем $$y\to 0,$$ причём $$y>0.$$

Значит, график начинается в точке $$(0;2)$$ и убывает, приближаясь к оси $$Ox$$ сверху.

б) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{x}-\sqrt{x+9}.$$

Область определения: $$x\ge 0.$$

Преобразуем:

$$y=\sqrt{x}-\sqrt{x+9} =-\bigl(\sqrt{x+9}-\sqrt{x}\bigr) =-\frac{9}{\sqrt{x+9}+\sqrt{x}}.$$

Следовательно, $$y<0$$ при всех $$x\ge 0,$$ а при увеличении $$x$$ знаменатель растёт, поэтому функция возрастает и стремится к нулю снизу.

При $$x=0$$:

$$y=0-\sqrt{9}=-3.$$

Значит, график начинается в точке $$(0;-3)$$ и возрастает, приближаясь к оси $$Ox$$ снизу.

Ответ

а) График функции $$y=\sqrt{x+4}-\sqrt{x}$$ определён при $$x\ge 0$$, убывает на $$[0;+\infty)$$, проходит через точку $$(0;2)$$ и стремится к $$0$$ сверху.

б) График функции $$y=\sqrt{x}-\sqrt{x+9}$$ определён при $$x\ge 0$$, возрастает на $$[0;+\infty)$$, проходит через точку $$(0;-3)$$ и стремится к $$0$$ снизу.