Упр.1.87 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) y = корень (x2-2x+1) — корень (x2+6x+9);
в) y = корень (x2-4x+4) + корень (x2+4x+4);
г) y = корень (x2+4x+4) — корень (x2-4x+4).

а)
$$ y=\sqrt{x^2+2x+1}+\sqrt{x^2-6x+9} $$
Так как
$$ x^2+2x+1=(x+1)^2,\qquad x^2-6x+9=(x-3)^2, $$
то
$$ y=|x+1|+|x-3|. $$
Рассмотрим промежутки, на которых знаки выражений под модулем постоянны:

• если $$x\le -1,$$ то
  $$ y=-(x+1)-(x-3)=-2x+2; $$
• если $$-1\le x\le 3,$$ то
  $$ y=(x+1)-(x-3)=4; $$
• если $$x\ge 3,$$ то
  $$ y=(x+1)+(x-3)=2x-2. $$

Значит, график функции состоит из трёх частей: луча прямой $$y=-2x+2$$ при $$x\le -1,$$ отрезка прямой $$y=4$$ при $$-1\le x\le 3$$ и луча прямой $$y=2x-2$$ при $$x\ge 3.$$

б)
$$ y=\sqrt{x^2-2x+1}-\sqrt{x^2+6x+9} $$
Преобразуем:
$$ y=|x-1|-|x+3|. $$
Рассмотрим промежутки:

• если $$x\le -3,$$ то
  $$ y=-(x-1)-(-(x+3))=4; $$
• если $$-3\le x\le 1,$$ то
  $$ y=-(x-1)-(x+3)=-2x-2; $$
• если $$x\ge 1,$$ то
  $$ y=(x-1)-(x+3)=-4. $$

Следовательно, график функции состоит из луча прямой $$y=4$$ при $$x\le -3,$$ отрезка прямой $$y=-2x-2$$ при $$-3\le x\le 1$$ и луча прямой $$y=-4$$ при $$x\ge 1.$$

в)
$$ y=\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{x^2+4x+4} $$
Имеем
$$ y=|x-2|+|x+2|. $$
Тогда:

• если $$x\le -2,$$ то
  $$ y=-(x-2)- (x+2)=-2x; $$
• если $$-2\le x\le 2,$$ то
  $$ y=-(x-2)+(x+2)=4; $$
• если $$x\ge 2,$$ то
  $$ y=(x-2)+(x+2)=2x. $$

г)
$$ y=\sqrt{x^2+4x+4}-\sqrt{x^2-4x+4} $$
Преобразуем:
$$ y=|x+2|-|x-2|. $$
Рассмотрим промежутки:

• если $$x\le -2,$$ то
  $$ y=-(x+2)-(-(x-2))=-4; $$
• если $$-2\le x\le 2,$$ то
  $$ y=(x+2)-(-(x-2))=2x; $$
• если $$x\ge 2,$$ то
  $$ y=(x+2)-(x-2)=4. $$

Ответ

а) $$y= \begin{cases} -2x+2, & x\le -1,\\ 4, & -1\le x\le 3,\\ 2x-2, & x\ge 3; \end{cases}$$
б) $$y= \begin{cases} 4, & x\le -3,\\ -2x-2, & -3\le x\le 1,\\ -4, & x\ge 1; \end{cases}$$
в) $$y= \begin{cases} -2x, & x\le -2,\\ 4, & -2\le x\le 2,\\ 2x, & x\ge 2; \end{cases}$$
г) $$y= \begin{cases} -4, & x\le -2,\\ 2x, & -2\le x\le 2,\\ 4, & x\ge 2. \end{cases}$$