Упр.1.83 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) y=cosx/|cosx|;
в) y=sinx/|sinx| + cos/|cosx|;
г) y=sinx + |sinx|;
д) y=cosx + |cosx|.

а) Рассмотрим функцию $$y=\frac{\sin x}{|\sin x|}.$$

Она определена при $$\sin x\ne 0,$$ то есть при $$x\ne \pi k,\ k\in \mathbb{Z}.$$

Если $$\sin x>0,$$ то $$|\sin x|=\sin x,$$ значит

$$y=\frac{\sin x}{\sin x}=1.$$

Если $$\sin x<0,$$ то $$|\sin x|=-\sin x,$$ значит

$$y=\frac{\sin x}{-\sin x}=-1.$$

Следовательно, график состоит из горизонтальных отрезков: $$y=1$$ на промежутках, где $$\sin x>0,$$ и $$y=-1$$ там, где $$\sin x<0,$$ с выколотыми точками при $$x=\pi k.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=\frac{\cos x}{|\cos x|}.$$

Она определена при $$\cos x\ne 0,$$ то есть при $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in \mathbb{Z}.$$

Так как $$\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right),$$ то график функции $$y=\frac{\cos x}{|\cos x|}$$ получается из графика функции $$y=\frac{\sin x}{|\sin x|}$$ сдвигом на $$\frac{\pi}{2}$$ влево.

При $$\cos x>0$$ имеем $$y=1,$$ а при $$\cos x<0$$ имеем $$y=-1.$$

в) Для функции

$$y=\frac{\sin x}{|\sin x|}+\frac{\cos x}{|\cos x|}$$

область определения — пересечение областей определения слагаемых:

$$\sin x\ne 0,\qquad \cos x\ne 0.$$

Значит, $$x\ne \pi k$$ и $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in \mathbb{Z}.$$

На каждом промежутке знаки синуса и косинуса постоянны, поэтому каждое слагаемое равно либо $$1,$$ либо $$-1.$$ Тогда возможны значения:

$$1+1=2,\qquad 1-1=0,\qquad -1+1=0,\qquad -1-1=-2.$$

Итак, график — ступенчатая функция, принимающая значения $$2, 0, -2$$ на соответствующих промежутках между точками разрыва.

г) Рассмотрим функцию $$y=\sin x+|\sin x|.$$

Если $$\sin x\ge 0,$$ то $$|\sin x|=\sin x,$$ и тогда

$$y=2\sin x.$$

Если $$\sin x<0,$$ то $$|\sin x|=-\sin x,$$ и тогда

$$y=0.$$

Следовательно,

$$ y= \begin{cases} 2\sin x, & \sin x\ge 0,\\ 0, & \sin x<0. \end{cases} $$

д) Рассмотрим функцию $$y=\cos x+|\cos x|.$$

Если $$\cos x\ge 0,$$ то $$|\cos x|=\cos x,$$ и тогда

$$y=2\cos x.$$

Если $$\cos x<0,$$ то $$|\cos x|=-\cos x,$$ и тогда

$$y=0.$$

Следовательно,

$$ y= \begin{cases} 2\cos x, & \cos x\ge 0,\\ 0, & \cos x<0. \end{cases} $$

Ответ

а) $$y=\frac{\sin x}{|\sin x|}=\begin{cases}1,& \sin x>0,\\ -1,& \sin x<0;\end{cases}$$
б) $$y=\frac{\cos x}{|\cos x|}=\begin{cases}1,& \cos x>0,\\ -1,& \cos x<0;\end{cases}$$
в) $$y=\frac{\sin x}{|\sin x|}+\frac{\cos x}{|\cos x|}\in\{-2,0,2\};$$
г) $$y=\sin x+|\sin x|=\begin{cases}2\sin x,& \sin x\ge 0,\\ 0,& \sin x<0;\end{cases}$$
д) $$y=\cos x+|\cos x|=\begin{cases}2\cos x,& \cos x\ge 0,\\ 0,& \cos x<0.\end{cases}$$