Упр.1.70 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции: а) $$x=2y$$; б) $$x=y^2$$, $$y\geqslant 0$$; в) $$x=2^y$$; г) $$x=\left(\frac{1}{2}\right)^y$$; д) $$x=\sin y$$, $$-\frac{\pi}{2}\leqslant y\leqslant\frac{\pi}{2}$$; е) $$x=\sqrt{1-y^2}$$.

Во всех пунктах удобно воспользоваться тем, что график функции вида $$x=f(y)$$ получается из графика функции $$y=f(x)$$ отражением относительно прямой $$y=x$$.

1. $$x=2y,\quad y\ge 0.$$

   Берём график $$y=2x$$ и отражаем его относительно прямой $$y=x$$. Получаем луч прямой $$x=2y$$ в первой четверти.

2. $$x=2y^2,\quad y\ge 0.$$

   Отражаем относительно прямой $$y=x$$ график $$y=2x^2,\ x\ge 0$$. Получаем правую ветвь параболы, лежащую в первой четверти.

3. $$x=2^y.$$

   Отражаем относительно прямой $$y=x$$ график $$y=2^x$$. Получаем возрастающую экспоненту, проходящую через точки $$\left(1,0\right),\left(2,1\right),\left(4,2\right).$$

4. $$x=\left(\frac12\right)^y.$$

   Отражаем относительно прямой $$y=x$$ график $$y=\left(\frac12\right)^x$$. Получаем убывающую экспоненту, проходящую через точки $$\left(1,0\right),\left(\frac12,1\right),\left(4,-2\right).$$

5. $$x=\sin y,\quad -\frac{\pi}{2}\le y\le \frac{\pi}{2}.$$

   Отражаем относительно прямой $$y=x$$ график $$y=\sin x,\ -\frac{\pi}{2}\le x\le \frac{\pi}{2}.$$ Получаем ту же кривую, но с переставленными осями: точки $$\left(-1,-\frac{\pi}{2}\right),\ (0,0),\ \left(1,\frac{\pi}{2}\right).$$

6. $$x=\sqrt{1-y^2}.$$

   Возводим в квадрат:

   $$x^2=1-y^2,\qquad x\ge 0.$$

   Тогда

   $$x^2+y^2=1,\qquad x\ge 0.$$

   Это правая полуокружность единичной окружности.

Ответ

а) луч прямой $$x=2y$$ при $$y\ge 0$$; б) правая ветвь параболы $$x=2y^2$$ при $$y\ge 0$$; в) график $$x=2^y$$; г) график $$x=\left(\frac12\right)^y$$; д) график $$x=\sin y$$ при $$-\frac{\pi}{2}\le y\le \frac{\pi}{2}$$; е) правая полуокружность $$x^2+y^2=1,\ x\ge 0.$$