Упр.1.40 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) Докажите, что если функция у = f(x) определена на промежутке X и убывает на нем, то для любой пары чисел х1 и х2 из промежутка X из справедливости неравенства f(x1) > f(x2) следует справедливость неравенства х1 < х2. в) Докажите, что если функция у = f(x) определена и строго монотонна на промежутке X, то для любой пары чисел х1 и х2 из X из справедливости равенства f(x1) = f(x2) следует справедливость равенства х1 = х2.

1. а) Пусть функция $$y=f(x)$$ определена на промежутке $$X$$ и возрастает на нем. Для любых $$x_1, x_2 \in X$$ возможны только три случая: $$x_1=x_2$$, $$x_1>x_2$$ или $$x_1

   Если бы было $$x_1=x_2$$, то тогда $$f(x_1)=f(x_2)$$, что противоречит условию $$f(x_1)>f(x_2)$$.

   Если бы было $$x_1

   Значит, остается только случай $$x_1>x_2$$.

2. б) Пусть функция $$y=f(x)$$ определена на промежутке $$X$$ и убывает на нем. Тогда при $$x_1=x_2$$ имеем $$f(x_1)=f(x_2)$$, а при $$x_1>x_2$$ из убывания следует $$f(x_1)

   Оба случая противоречат условию $$f(x_1)>f(x_2)$$. Следовательно, возможно только $$x_1

3. в) Пусть функция $$y=f(x)$$ определена и строго монотонна на промежутке $$X$$. Если $$f(x_1)=f(x_2)$$ и при этом $$x_1\ne x_2$$, то возможны два случая:

   • если функция возрастает, то из $$x_1x_2$$ следует $$f(x_1)>f(x_2)$$;
   • если функция убывает, то из $$x_1f(x_2)$$, а из $$x_1>x_2$$ следует $$f(x_1)

   В обоих случаях получаем противоречие с равенством $$f(x_1)=f(x_2)$$. Значит, $$x_1=x_2$$.

Ответ

а) $$x_1>x_2$$;
б) $$x_1 в) из $$f(x_1)=f(x_2)$$ следует $$x_1=x_2$$.