Упр.1.39 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

б) Докажите, что сумма убывающих на промежутке X функций является функцией, также убывающей на X.

а) Пусть $$\varphi(x)=f(x)+g(x),$$ где функции $$f(x)$$ и $$g(x)$$ возрастают на промежутке $$X$$.

Возьмём любые $$x_1,x_2 \in X$$ такие, что $$x_1>x_2$$. Тогда, так как $$f(x)$$ и $$g(x)$$ возрастают на $$X$$, имеем

$$f(x_1)>f(x_2), \qquad g(x_1)>g(x_2).$$

Складывая эти неравенства, получаем

$$f(x_1)+g(x_1)>f(x_2)+g(x_2),$$

то есть

$$\varphi(x_1)>\varphi(x_2).$$

Следовательно, функция $$\varphi(x)$$ возрастает на промежутке $$X$$.

б) Пусть теперь $$\psi(x)=f(x)+g(x),$$ где функции $$f(x)$$ и $$g(x)$$ убывают на промежутке $$X$$.

Возьмём любые $$x_1,x_2 \in X$$ такие, что $$x_1>x_2$$. Тогда

$$f(x_1)<f(x_2), \qquad g(x_1)<g(x_2).$$

Складывая эти неравенства, получаем

$$f(x_1)+g(x_1)<f(x_2)+g(x_2),$$

то есть

$$\psi(x_1)<\psi(x_2).$$

Следовательно, сумма убывающих на $$X$$ функций также убывает на $$X$$.

Ответ

Сумма возрастающих на промежутке $$X$$ функций является возрастающей на $$X$$, а сумма убывающих на $$X$$ функций является убывающей на $$X$$.