Упр.1.34 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Обозначим через $$\{x\}$$ дробную часть числа $$x$$. Тогда для любого целого числа $$m$$, $$m\neq 0$$, выполняется

$$\{x+m\}=\{x\}.$$

Значит, для каждой из данных функций прибавление к аргументу целого числа не меняет значение функции, то есть все они периодические с периодом $$1$$.

Рассмотрим вид графиков.

1. $$y=[x]$$ — ступенчатая функция, постоянная на каждом промежутке вида $$[n;n+1)$$, где $$n\in \mathbb{Z}$$.

2. $$y=\{x\}$$ — график дробной части: на каждом промежутке $$[n;n+1)$$ это отрезок от $$0$$ до $$1$$ без правой границы.

3. $$y=\left|\{x\}-\frac12\right|$$ — периодическая ломаная с вершинами в точках, где $$\{x\}=0$$ или $$\{x\}=1$$, и максимумом $$\frac12$$ при $$\{x\}=0$$.

4. $$y=\left|\left\{\frac{x}{2}\right\}-\frac12\right|$$ — тот же график, но растянутый по оси $$x$$ в 2 раза; период равен $$2$$.

5. $$y=\left|2\left\{\frac{x}{2}\right\}-1\right|$$ — график, получающийся из предыдущего умножением значений функции на $$2$$; период также равен $$2$$.

6. $$y=\left|4\left\{\frac{x}{4}\right\}-2\right|$$ — аналогично, период равен $$4$$.

Для пункта в) график представляет собой периодическую ломаную с вершинами в точках

$$\left(\frac{k}{2},0\right),\quad \left(k, \frac12\right),\quad k\in \mathbb{Z}.$$

На каждом промежутке длины $$1$$ он состоит из двух отрезков, образующих «треугольник».

Ответ

Все данные функции периодические. Периоды: а) $$1$$, б) $$1$$, в) $$1$$, г) $$2$$, д) $$2$$, е) $$4$$.