Упр.1.33 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

• а) $$y=|\sin x|$$;
• б) $$y=|\cos x|$$;
• в) $$y=|\tg x|$$;
• г) $$y=|\ctg x|$$;
• д) $$y=\sin|x|$$;
• е) $$y=\cos|x|$$;
• ж) $$y=\tg|x|$$;
• з) $$y=\ctg|x|$$.

Рассмотрим каждую функцию.

1. а) $$y=|\sin x|.$$

   Функция определена при всех $$x\in \mathbb{R}$$. Так как $$\sin x$$ — периодическая функция с периодом $$2\pi$$, то после взятия модуля период сохраняется. При этом наименьший положительный период равен $$\pi$$, поскольку

   $$|\sin(x+\pi)|=|-\sin x|=|\sin x|.$$

2. б) $$y=|\cos x|.$$

   Функция определена при всех $$x\in \mathbb{R}$$ и периодична. Наименьший положительный период равен $$\pi$$, так как

   $$|\cos(x+\pi)|=|-\cos x|=|\cos x|.$$

3. в) $$y=|\tg x|.$$

   Область определения: $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in \mathbb{Z}.$$

   Функция периодична, её наименьший положительный период равен $$\pi$$, потому что

   $$|\tg(x+\pi)|=|\tg x|.$$

4. г) $$y=|\ctg x|.$$

   Область определения: $$x\ne \pi k,\ k\in \mathbb{Z}.$$

   Функция периодична, её наименьший положительный период равен $$\pi$$, так как

   $$|\ctg(x+\pi)|=|\ctg x|.$$

5. д) $$y=\sin|x|.$$

   Функция определена при всех $$x\in \mathbb{R}$$, но не является периодической. Действительно, если бы существовал период $$T\ne 0$$, то график функции совпадал бы с графиком функции $$y=\sin(|x|+T)$$, полученной сдвигом вдоль оси $$Ox$$, что невозможно.

6. е) $$y=\cos|x|.$$

   Так как $$\cos|x|=\cos x$$ при $$x\ge 0$$ и $$\cos|x|=\cos(-x)=\cos x$$ при $$x<0$$, то

   $$\cos|x|=\cos x.$$

   Следовательно, функция периодическая, её главный период равен $$2\pi$$.

7. ж) $$y=\tg|x|.$$

   Функция определена при всех $$x$$, для которых $$|x|\ne \frac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in \mathbb{Z}.$$

   Она не является периодической, так как из-за модуля аргумента график не повторяется при сдвиге вдоль оси $$Ox$$.

8. з) $$y=\ctg|x|.$$

   Область определения: $$|x|\ne \pi k,\ k\in \mathbb{Z},$$ то есть $$x\ne \pi k,\ k\in \mathbb{Z}.$$

   Функция не является периодической по той же причине, что и $$y=\tg|x|$$.

Ответ

а) периодическая, $$T=\pi$$;
б) периодическая, $$T=\pi$$;
в) периодическая, $$T=\pi$$;
г) периодическая, $$T=\pi$$;
д) не периодическая;
е) периодическая, главный период $$2\pi$$;
ж) не периодическая;
з) не периодическая.