Упр.1.30 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если число $$T$$ есть период функции $$f$$, то число $$mT$$, где $$m \in \mathbb{N}$$, также будет периодом этой функции.

Пусть $$T$$ — период функции $$f$$. Тогда для любого $$x \in D(f)$$ числа $$x+T$$ и $$x-T$$ также принадлежат области определения, и выполняется

$$f(x+T)=f(x).$$

Докажем, что тогда и число $$mT$$, где $$m \in \mathbb{N}$$, является периодом функции $$f$$.

При $$m=1$$ утверждение верно по условию.

Предположим, что для некоторого $$k \in \mathbb{N}$$ число $$kT$$ является периодом функции $$f$$. Докажем, что тогда периодом будет и число $$(k+1)T$$.

Так как $$kT$$ — период, то для любого $$x \in D(f)$$ имеем

$$f(x+kT)=f(x).$$

Поскольку $$T$$ — период функции, то

$$f\bigl((x+kT)+T\bigr)=f(x+kT).$$

Следовательно,

$$f\bigl(x+(k+1)T\bigr)=f(x+kT)=f(x).$$

Значит, число $$(k+1)T$$ также является периодом функции $$f$$.

По принципу математической индукции число $$mT$$ является периодом функции $$f$$ при любом $$m \in \mathbb{N}$$.

Ответ

Если $$T$$ — период функции $$f$$, то $$mT$$ тоже является периодом этой функции при любом $$m \in \mathbb{N}$$.