Упр.1.25 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Представьте функцию $$y=2x$$, определённую на всей числовой оси, в виде суммы чётной и нечётной функций.

Представим функцию $$y=2^x$$ в виде суммы четной и нечетной функций по формулам

$$\varphi(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}, \qquad \psi(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.$$

Здесь $$f(x)=2^x,$$ тогда

$$f(-x)=2^{-x}.$$

Следовательно,

$$2^x=\frac{2^x+2^{-x}}{2}+\frac{2^x-2^{-x}}{2}.$$

Проверим: функция

$$\varphi(x)=\frac{2^x+2^{-x}}{2}$$

четная, так как

$$\varphi(-x)=\frac{2^{-x}+2^x}{2}=\varphi(x),$$

а функция

$$\psi(x)=\frac{2^x-2^{-x}}{2}$$

нечетная, так как

$$\psi(-x)=\frac{2^{-x}-2^x}{2}=-\psi(x).$$

Ответ

$$2^x=\frac{2^x+2^{-x}}{2}+\frac{2^x-2^{-x}}{2},$$

где $$\frac{2^x+2^{-x}}{2}$$ — четная функция, а $$\frac{2^x-2^{-x}}{2}$$ — нечетная.