Упр.1.24 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если функция $$y=f(x)$$ определена на множестве $$X$$ и для любого $$x\in X$$ число $$-x$$ принадлежит $$X$$, то эту функцию можно представить в виде суммы двух функций, каждая из которых определена на том же множестве $$X$$, и одна из которых чётная, а другая нечётная.

Рассмотрим функции

$$\varphi(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}, \qquad \psi(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.$$

Так как для любого $$x \in X$$ число $$-x \in X$$, то обе функции определены на том же множестве $$X$$.

Проверим их чётность:

$$\varphi(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=\varphi(x),$$

значит, $$\varphi(x)$$ — чётная функция.

Далее,

$$\psi(-x)=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-\frac{f(x)-f(-x)}{2}=-\psi(x),$$

значит, $$\psi(x)$$ — нечётная функция.

Теперь сложим эти функции:

$$\varphi(x)+\psi(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}=f(x).$$

Следовательно, любую такую функцию можно представить в виде суммы чётной и нечётной функций.

Ответ

$$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2},$$

где $$\frac{f(x)+f(-x)}{2}$$ — чётная функция, а $$\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$ — нечётная.