Упр.1.23 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если функция $$y=f(x)$$ определена на множестве $$X$$ и для любого $$x\in X$$ число $$-x\in X$$, то функция: а) $$\varphi(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$$ чётная; б) $$\psi(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$ нечётная.

а) Найдём значение функции при $$-x$$:

$$\varphi(-x)=\frac{f(-x)+f(-(-x))}{2}=\frac{f(-x)+f(x)}{2}.$$

Так как

$$\frac{f(-x)+f(x)}{2}=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=\varphi(x),$$

то $$\varphi(-x)=\varphi(x)$$. Следовательно, функция $$\varphi(x)$$ чётная.

б) Найдём значение функции при $$-x$$:

$$\psi(-x)=\frac{f(-x)-f(-(-x))}{2}=\frac{f(-x)-f(x)}{2}.$$

Преобразуем:

$$\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-\frac{f(x)-f(-x)}{2}=-\psi(x).$$

Значит, $$\psi(-x)=-\psi(x)$$. Следовательно, функция $$\psi(x)$$ нечётная.

Ответ

$$\varphi(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$$ — чётная, $$\psi(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$ — нечётная.