Упр.1.23 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

а) фи(х) = (f(x) + f(-x))/2 четная;
б) пси (x) = (f(x) — f(-x))/2 нечетная.

а) Найдём значение функции при $$-x$$:

$$ \varphi(-x)=\frac{f(-x)+f(-(-x))}{2}=\frac{f(-x)+f(x)}{2}. $$

Так как

$$ \frac{f(-x)+f(x)}{2}=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=\varphi(x), $$

то $$\varphi(-x)=\varphi(x)$$. Следовательно, функция $$\varphi(x)$$ чётная.

б) Найдём значение функции при $$-x$$:

$$ \psi(-x)=\frac{f(-x)-f(-(-x))}{2}=\frac{f(-x)-f(x)}{2}. $$

Преобразуем:

$$ \frac{f(-x)-f(x)}{2}=-\frac{f(x)-f(-x)}{2}=-\psi(x). $$

Значит, $$\psi(-x)=-\psi(x)$$. Следовательно, функция $$\psi(x)$$ нечётная.

Ответ

$$\varphi(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$$ — чётная, $$\psi(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$$ — нечётная.