Упр.1.14 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)
- Имеет ли наибольшее (наименьшее) значение функция:
а) $$y=\sqrt{x-1}$$;
б) $$y=\sqrt{x^2-1}$$;
в) $$y=x^3$$;
г) $$y=2\sqrt{\sin x}$$;
д) $$y=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$;
е) $$y=\sqrt[3]{\sin x}$$?
Если имеет, то укажите точку (точки), в которой оно достигается.
а) $$y=\sqrt{x-1}$$
Область определения: $$x-1\ge 0,\quad x\ge 1.$$
Функция $$\sqrt{x-1}$$ возрастает при $$x\ge 1$$, поэтому наименьшее значение равно $$0$$ и достигается при $$x=1$$.
Наибольшего значения нет, так как при $$x\to +\infty$$ имеем $$y\to +\infty$$.
б) $$y=\sqrt{x^2-1}$$
Область определения: $$x^2-1\ge 0,\quad |x|\ge 1.$$
Так как $$\sqrt{x^2-1}\ge 0$$, наименьшее значение равно $$0$$. Оно достигается при
$$x^2-1=0 \;\Rightarrow\; x=\pm 1.$$
Наибольшего значения нет, так как при $$|x|\to +\infty$$ значение функции неограниченно возрастает.
в) $$y=x^3$$
Функция $$x^3$$ возрастает на всей числовой прямой и не ограничена ни сверху, ни снизу.
Следовательно, ни наибольшего, ни наименьшего значения не имеет.
г) $$y=2^{\sqrt{\sin x}}$$
Область определения задаётся условием
$$\sin x\ge 0.$$
Тогда
$$0\le \sqrt{\sin x}\le 1.$$
Так как функция $$2^t$$ возрастает, то
$$1\le 2^{\sqrt{\sin x}}\le 2.$$
Минимум равен $$1$$ и достигается при $$\sqrt{\sin x}=0$$, то есть при
$$\sin x=0 \;\Rightarrow\; x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Максимум равен $$2$$ и достигается при $$\sqrt{\sin x}=1$$, то есть при
$$\sin x=1 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
д) $$y=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$
Для существования функции нужно
$$1-x^2>0,\quad -1<x<1.$$
Тогда $$0<\sqrt{1-x^2}\le 1,$$ значит
$$y=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ge 1.$$
Наименьшее значение равно $$1$$ и достигается при
$$\sqrt{1-x^2}=1 \;\Rightarrow\; 1-x^2=1 \;\Rightarrow\; x=0.$$
Наибольшего значения нет, так как при $$x\to \pm 1$$ знаменатель стремится к нулю, а $$y\to +\infty$$.
е) $$y=\sqrt[3]{\sin x}$$
Так как
$$-1\le \sin x\le 1,$$
а функция $$\sqrt[3]{t}$$ возрастает, получаем
$$-1\le \sqrt[3]{\sin x}\le 1.$$
Наименьшее значение равно $$-1$$ и достигается при
$$\sin x=-1 \;\Rightarrow\; x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Наибольшее значение равно $$1$$ и достигается при
$$\sin x=1 \;\Rightarrow\; x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) наименьшее значение $$0$$ при $$x=1$$; наибольшего нет.
б) наименьшее значение $$0$$ при $$x=\pm 1$$; наибольшего нет.
в) ни наибольшего, ни наименьшего значения нет.
г) наименьшее значение $$1$$ при $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; наибольшее значение $$2$$ при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$.
д) наименьшее значение $$1$$ при $$x=0$$; наибольшего нет.
е) наименьшее значение $$-1$$ при $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$; наибольшее значение $$1$$ при $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$.
