Упр.1.13 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если функция $$y=f(x)$$, определённая на множестве $$X$$, ограничена и сверху, и снизу на этом множестве, то она ограничена на этом множестве.

Так как функция $$y=f(x)$$ ограничена сверху и снизу на множестве $$X$$, то существуют числа $$A$$ и $$B$$ такие, что для любого $$x\in X$$

$$A\le f(x)\le B.$$

Рассмотрим возможные случаи.

1. Если $$A>0$$, то из $$A\le f(x)\le B$$ следует, что $$f(x)>0$$. Тогда

   $$|f(x)|=f(x)\le B.$$

2. Если $$B<0$$, то из $$A\le f(x)\le B$$ следует, что $$f(x)<0$$. Тогда

   $$|f(x)|=-f(x)\le -A=|A|.$$

3. Если $$A\le 0$$ и $$B\ge 0$$, то положим

   $$M=1+\max\left(|A|,|B|\right).$$

   Тогда для любого $$x\in X$$ выполняется

   $$-M<f(x)<M,$$

   а значит,

   $$|f(x)|<M.$$

Во всех случаях существует число $$M>0$$ такое, что для любого $$x\in X$$

$$|f(x)|\le M.$$

Следовательно, функция $$y=f(x)$$ ограничена на множестве $$X$$.

Ответ

Если функция ограничена сверху и снизу на множестве $$X$$, то она ограничена на этом множестве.