Упр.1.12 ГДЗ Никольский Потапов 11 класс (Алгебра)

Покажите, что на полной области определения функция:

а) $$y=x^2$$ не является ограниченной сверху;

б) $$y=-\frac{1}{x^2}$$ не является ограниченной снизу;

в) $$y=\log_2 x$$ не является ограниченной.

а) Для любого числа $$M>0$$ найдётся такое значение $$x_0=\sqrt{M+1}$$, что

$$y_0=x_0^2=M+1>M.$$

Значит, на полной области определения функция $$y=x^2$$ не является ограниченной сверху.

б) Для любого числа $$M>0$$ найдётся такое значение $$x_0=\frac{1}{\sqrt{2M}}$$, что

$$y_0=-\frac{1}{x_0^2}=-\frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt{2M}}\right)^2}=-2M<-M.$$

Следовательно, функция $$y=-\frac{1}{x^2}$$ не является ограниченной снизу.

в) Для любого числа $$M>0$$ найдётся такое значение $$x_0=2^{M+1}$$, что

$$|y_0|=|\log_2 x_0|=\log_2 2^{M+1}=M+1>M.$$

Значит, функция $$y=\log_2 x$$ не является ограниченной.

Ответ

а) $$y=x^2$$ не ограничена сверху; б) $$y=-\frac{1}{x^2}$$ не ограничена снизу; в) $$y=\log_2 x$$ не ограничена.