Упр.4 Повторение ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Используем формулы связи тригонометрических функций:
$$\cos t=\pm \sqrt{\frac{1}{1+\tg^2 t}}, \qquad \sin t=\tg t\cdot \cos t, \qquad \ctg t=\frac{1}{\tg t}.$$
а)
$$\tg t=-\frac{5}{12}, \qquad t\in\left(\frac{3\pi}{2},2\pi\right).$$
В IV четверти $$\cos t>0,$$ значит
$$\cos t=\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2 t}}=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{25}{144}}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}.$$
Тогда
$$\sin t=\tg t\cdot \cos t=-\frac{5}{12}\cdot \frac{12}{13}=-\frac{5}{13},$$
$$\ctg t=\frac{1}{\tg t}=-\frac{12}{5}.$$
б)
$$\tg t=-\frac{12}{35}, \qquad t\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right).$$
Здесь $$\tg t<0,$$ а при $$t\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$$ это соответствует III четверти, поэтому $$\cos t<0$$ и $$\sin t<0.$$
$$\cos t=-\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2 t}}=-\sqrt{\frac{1}{1+\frac{144}{1225}}}=-\sqrt{\frac{1225}{1369}}=-\frac{35}{37}.$$
Тогда
$$\sin t=\tg t\cdot \cos t=-\frac{12}{35}\cdot \left(-\frac{35}{37}\right)=\frac{12}{37},$$
$$\ctg t=\frac{1}{\tg t}=-\frac{35}{12}.$$
в)
$$\tg t=\frac{9}{40}, \qquad t\in\left(\pi,\frac{3\pi}{2}\right).$$
В III четверти $$\cos t<0,$$ а $$\sin t<0.$$ Поэтому
$$\cos t=-\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2 t}}=-\sqrt{\frac{1}{1+\frac{81}{1600}}}=-\sqrt{\frac{1600}{1681}}=-\frac{40}{41}.$$
Тогда
$$\sin t=\tg t\cdot \cos t=\frac{9}{40}\cdot \left(-\frac{40}{41}\right)=-\frac{9}{41},$$
$$\ctg t=\frac{1}{\tg t}=\frac{40}{9}.$$
г)
$$\tg t=-\frac{24}{7}, \qquad t\in(0,\pi).$$
Так как $$\tg t<0$$ и $$t\in(0,\pi),$$ то $$t\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right),$$ следовательно, $$\cos t<0,$$ $$\sin t>0.$$
$$\cos t=-\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2 t}}=-\sqrt{\frac{1}{1+\frac{576}{49}}}=-\sqrt{\frac{49}{625}}=-\frac{7}{25}.$$
Тогда
$$\sin t=\tg t\cdot \cos t=-\frac{24}{7}\cdot \left(-\frac{7}{25}\right)=\frac{24}{25},$$
$$\ctg t=\frac{1}{\tg t}=-\frac{7}{24}.$$
Ответ
а) $$\sin t=-\frac{5}{13},\ \cos t=\frac{12}{13},\ \ctg t=-\frac{12}{5};$$
б) $$\sin t=\frac{12}{37},\ \cos t=-\frac{35}{37},\ \ctg t=-\frac{35}{12};$$
в) $$\sin t=-\frac{9}{41},\ \cos t=-\frac{40}{41},\ \ctg t=\frac{40}{9};$$
г) $$\sin t=\frac{24}{25},\ \cos t=-\frac{7}{25},\ \ctg t=-\frac{7}{24}.$$
