Упр.33 Повторение ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=\frac{3x-x^2}{x^2-3x+4}$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{(3-2x)(x^2-3x+4)-(3x-x^2)(2x-3)}{(x^2-3x+4)^2}$$

Упростим числитель:

$$(3-2x)(x^2-3x+4)-(3x-x^2)(2x-3)=4(3-2x)$$

Тогда

$$y’=\frac{4(3-2x)}{(x^2-3x+4)^2}$$

Так как знаменатель всегда положителен, то знак производной определяется числителем:

$$3-2x>0 \iff x<\frac32$$

Следовательно, функция возрастает при $$x<\frac32$$ и убывает при $$x>\frac32$$.

Критическая точка:

$$x=\frac32$$

Значение функции в этой точке:

$$y\!\left(\frac32\right)=\frac{3\cdot \frac32-\left(\frac32\right)^2}{\left(\frac32\right)^2-3\cdot \frac32+4} =\frac{\frac92-\frac94}{\frac94-\frac92+4} =\frac{\frac94}{\frac74} =\frac97$$

Значит, максимум функции равен $$\frac97$$.

Нули функции:

$$3x-x^2=0$$

$$x(3-x)=0$$

$$x=0,\quad x=3$$

Область определения:

$$x^2-3x+4\ne 0$$

$$D= (-3)^2-4\cdot 1\cdot 4=9-16=-7<0$$

Следовательно, $$x^2-3x+4>0$$ при всех $$x\in \mathbb R$$, и область определения: $$\mathbb R$$.

Кроме того,

$$\lim_{x\to\infty}\frac{3x-x^2}{x^2-3x+4}=-1$$

Значит, горизонтальная асимптота: $$y=-1$$.

Итак, график проходит через точки $$\left(0,0\right)$$ и $$\left(3,0\right)$$, имеет максимум в точке $$\left(\frac32,\frac97\right)$$ и горизонтальную асимптоту $$y=-1$$.

б) $$y=(x+1)^2(x+2)$$

Найдём производную:

$$y’ = 2(x+1)(x+2)+(x+1)^2$$

$$y’=(x+1)(2x+4+x+1)=(x+1)(3x+5)$$

Исследуем знак производной:

$$(x+1)(3x+5)>0$$

Отсюда функция возрастает при

$$x<-\frac53 \quad \text{и} \quad x>-1$$

и убывает при

$$-\frac53<x<-1$$

Точки экстремума:

$$x=-\frac53,\quad x=-1$$

$$y\!\left(-\frac53\right)=\left(-\frac53+1\right)^2\left(-\frac53+2\right) =\left(-\frac23\right)^2\cdot \frac13 =\frac49\cdot \frac13 =\frac4{27}$$

$$y(-1)=0$$

Нули функции:

$$(x+1)^2(x+2)=0$$

$$x=-1,\quad x=-2$$

Итак, график проходит через точки $$(-2,0)$$ и $$(-1,0)$$, имеет максимум в точке $$\left(-\frac53,\frac4{27}\right)$$ и минимум в точке $$(-1,0)$$.

Ответ

а) $$D(y)=\mathbb R$$; функция возрастает при $$x<\frac32$$, убывает при $$x>\frac32$$; максимум $$y_{\max}=\frac97$$ при $$x=\frac32$$; нули: $$x=0$$ и $$x=3$$; горизонтальная асимптота $$y=-1$$.

б) $$D(y)=\mathbb R$$; функция возрастает при $$x<-\frac53$$ и $$x>-1$$, убывает при $$-\frac53<x<-1$$; максимум $$y_{\max}=\frac4{27}$$ при $$x=-\frac53$$; минимум $$y_{\min}=0$$ при $$x=-1$$; нули: $$x=-2$$ и $$x=-1$$.