Упр.32 Повторение ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдём производную функции:

$$y=x^3+5x^2-8x+4$$

$$y’=3x^2+10x-8$$

Исследуем знак производной. Решим уравнение $$3x^2+10x-8=0$$:

$$D=10^2-4\cdot 3\cdot(-8)=100+96=196$$

$$x_{1,2}=\frac{-10\pm 14}{2\cdot 3}$$

$$x_1=-4,\qquad x_2=\frac23$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, то

$$y’>0$$ при $$x\in(-\infty;-4)\cup\left(\frac23;+\infty\right),$$

$$y'<0$$ при $$x\in\left(-4;\frac23\right).$$

Значит, функция возрастает на промежутках $$(-\infty;-4]$$ и $$\left[\frac23;+\infty\right),$$ а убывает на $$\left[-4;\frac23\right].$$

Найдём значения функции в критических точках:

$$y(-4)=(-4)^3+5\cdot(-4)^2-8\cdot(-4)+4=-64+80+32+4=52$$

$$y\left(\frac23\right)=\left(\frac23\right)^3+5\left(\frac23\right)^2-8\cdot\frac23+4=\frac{8}{27}+\frac{20}{9}-\frac{16}{3}+4=\frac{32}{27}=1\frac{5}{27}$$

Следовательно, в точке $$x=-4$$ функция имеет максимум, а в точке $$x=\frac23$$ — минимум.

Ответ: возрастает на $$(-\infty;-4]\cup\left[\frac23;+\infty\right),$$ убывает на $$\left[-4;\frac23\right];$$ $$x_{\max}=-4,\ y(-4)=52;$$ $$x_{\min}=\frac23,\ y\left(\frac23\right)=1\frac{5}{27}.$$