Упр.31 Повторение ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдём производную функции $$y=\frac{x^2-3}{x-1}.$$

По формуле производной частного:

$$y’=\frac{(x^2-3)'(x-1)-(x^2-3)(x-1)’}{(x-1)^2}.$$

Вычислим производные:

$$y’=\frac{2x(x-1)-(x^2-3)}{(x-1)^2}.$$

Упростим числитель:

$$y’=\frac{2x^2-2x-x^2+3}{(x-1)^2} =\frac{x^2-2x+3}{(x-1)^2}.$$

Исследуем знак производной. Числитель

$$x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0$$

при всех $$x,$$ а знаменатель $$(x-1)^2>0$$ при $$x\ne 1.$$ Значит,

$$y’>0 \quad \text{при всех } x\ne 1.$$

Следовательно, функция возрастает на каждом из промежутков своей области определения:

$$(-\infty,1)\quad \text{и}\quad (1,+\infty).$$

Ответ

$$y’=\frac{x^2-2x+3}{(x-1)^2},$$ функция возрастает на $$(-\infty,1)$$ и $$(1,+\infty).$$