Упр.21 Повторение ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Подробный ответ

Обозначим искомое значение производной через $$f'(2).$$

Для первой функции $$y=f^3(x)$$ имеем по правилу дифференцирования сложной функции:

$$y’ = 3f^2(x)\cdot f'(x).$$

В точке $$x=2$$ это даёт

$$3f^2(2)\cdot f'(2)=27,$$

откуда

$$f^2(2)\cdot f'(2)=9.$$

Для второй функции $$y=\dfrac{1}{f(x)}$$:

$$y’=-\dfrac{f'(x)}{f^2(x)}.$$

По условию в точке $$x=2$$

$$-\dfrac{f'(2)}{f^2(2)}=-1,$$

значит

$$f'(2)=f^2(2).$$

Подставим это в равенство $$f^2(2)\cdot f'(2)=9$$:

$$f^2(2)\cdot f^2(2)=9,$$

$$\bigl(f^2(2)\bigr)^2=9,$$

$$f^2(2)=3,$$

так как $$f^2(2)\ge 0.$$ Тогда

$$f'(2)=3.$$

Но из уравнения $$-\dfrac{f'(2)}{f^2(2)}=-1$$ также следует, что знак производной может быть отрицательным при соответствующем выборе значения функции, поэтому получаем два возможных значения:

$$f'(2)=\pm 3.$$