Упр.20 Повторение ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. $$f(x)=\frac{x^2-1}{x-2}-\frac13x^3,\quad x_0=-1.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{(x^2-1)'(x-2)-(x^2-1)(x-2)’}{(x-2)^2}-\frac13\cdot 3x^2$$

   $$f'(x)=\frac{2x(x-2)-(x^2-1)}{(x-2)^2}-x^2 =\frac{x^2-4x+1}{(x-2)^2}-x^2$$

   Подставим $$x=-1$$:

   $$f'(-1)=\frac{(-1)^2-4\cdot(-1)+1}{(-1-2)^2}-(-1)^2 =\frac{1+4+1}{9}-1 =\frac{6}{9}-1 =-\frac13$$

2. $$f(x)=4\cos 2x-\ctg\frac{x}{2},\quad x_0=\frac{\pi}{3}.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=4\cdot(-\sin 2x)\cdot 2-\left(\ctg\frac{x}{2}\right)’$$

   $$\left(\ctg\frac{x}{2}\right)’=-\frac{1}{\sin^2\frac{x}{2}}\cdot\frac12$$

   Тогда

   $$f'(x)=-8\sin 2x+\frac{1}{2\sin^2\frac{x}{2}}$$

   Подставим $$x=\frac{\pi}{3}$$:

   $$f’\left(\frac{\pi}{3}\right) =-8\sin\frac{2\pi}{3}+\frac{1}{2\sin^2\frac{\pi}{6}} =-8\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{1}{2\cdot\frac14} =-4\sqrt3+2$$

3. $$f(x)=2\sin\frac{x}{2}+\cos 3x,\quad x_0=\frac{\pi}{2}.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=2\cos\frac{x}{2}\cdot\frac12- \sin 3x\cdot 3 =\cos\frac{x}{2}-3\sin 3x$$

   Подставим $$x=\frac{\pi}{2}$$:

   $$f’\left(\frac{\pi}{2}\right) =\cos\frac{\pi}{4}-3\sin\frac{3\pi}{2} =\frac{\sqrt2}{2}-3\cdot(-1) =3+\frac{\sqrt2}{2}$$

4. $$f(x)=\frac{3x^3-1}{x+1}+\frac14x^4,\quad x_0=-2.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{(3x^3-1)'(x+1)-(3x^3-1)(x+1)’}{(x+1)^2}+\frac14\cdot 4x^3$$

   $$f'(x)=\frac{9x^2(x+1)-(3x^3-1)}{(x+1)^2}+x^3 =\frac{6x^3+9x^2+1}{(x+1)^2}+x^3$$

   Подставим $$x=-2$$:

   $$f'(-2)=\frac{6\cdot(-2)^3+9\cdot(-2)^2+1}{(-2+1)^2}+(-2)^3 =\frac{-48+36+1}{1}-8 =-19$$

Ответ: а) $$-\frac13$$; б) $$2-4\sqrt3$$; в) $$3+\frac{\sqrt2}{2}$$; г) $$-19$$.