Упр.18 Повторение ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Подробный ответ

а) $$y=2\sin^2 x$$

Так как $$0\le \sin^2 x\le 1,$$ то

$$0\le y\le 2.$$

Нули функции: $$y=0$$ при $$x=\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

Максимум: $$y=2$$ при $$x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

Функция чётная, так как $$\sin^2(-x)=\sin^2 x.$$

Период функции: $$T=\pi.$$

На промежутке $$\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$$ функция возрастает, а на промежутке $$\left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right]$$ убывает; далее поведение повторяется с периодом $$\pi.$$

б) $$y=\dfrac{2\sin|x|}{\sin x}+x$$

Область определения: $$\sin x\ne 0,$$ то есть $$x\ne \pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

Рассмотрим случаи:

если $$x>0,$$ то $$|x|=x,$$ и

$$y=\dfrac{2\sin x}{\sin x}+x=2+x.$$

если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и

$$y=\dfrac{2\sin(-x)}{\sin x}+x=\dfrac{-2\sin x}{\sin x}+x=x-2.$$

Значит,

$$y= \begin{cases} x-2, & x<0,\\ x+2, & x>0, \end{cases} \qquad x\ne \pi n.$$

Функция нечётная, так как $$f(-x)=-f(x).$$

На каждом из промежутков своей области определения функция возрастает.

в) $$y=\dfrac{\cos x}{|\cos x|}\cdot x^2,\qquad x\in\left(-\dfrac{3\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right)$$

Область определения: $$\cos x\ne 0,$$ то есть $$x\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n.$$

Так как $$\dfrac{\cos x}{|\cos x|}=1$$ при $$\cos x>0$$ и $$\dfrac{\cos x}{|\cos x|}=-1$$ при $$\cos x<0,$$ получаем

$$y= \begin{cases} x^2, & \cos x>0,\\ -x^2, & \cos x<0. \end{cases}$$

На данном промежутке это можно записать так:

$$y= \begin{cases} x^2, & x\in\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right),\\ -x^2, & x\in\left(-\dfrac{3\pi}{2};-\dfrac{\pi}{2}\right)\cup\left(\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right). \end{cases}$$

Функция чётная.

Область значений:

$$E(y)=\left(-\dfrac{9\pi^2}{4};-\dfrac{\pi^2}{4}\right)\cup\left[0;\dfrac{\pi^2}{4}\right).$$

Нуль функции: $$x=0.$$

г) $$y=\dfrac12\cos^2 2x$$

Так как $$0\le \cos^2 2x\le 1,$$ то

$$0\le y\le \dfrac12.$$

Нули функции отсутствуют, так как $$\cos^2 2x=0$$ невозможно для $$y=\dfrac12\cos^2 2x$$ только при $$\cos 2x=0,$$ а тогда $$y=0.$$ Следовательно,

$$y=0 \quad \text{при} \quad x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$

Максимум: $$y=\dfrac12$$ при $$x=\dfrac{\pi n}{2},\; n\in\mathbb Z.$$

Функция чётная, так как $$\cos^2(2(-x))=\cos^2 2x.$$

Период функции: $$T=\dfrac{\pi}{2}.$$