Упр.15 Повторение ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Положим $$t=\sin x.$$ Тогда уравнение

$$\frac{|\sin x|}{\sin x}=1-\cos 2x$$

преобразуем с помощью формулы $$1-\cos 2x=2\sin^2 x$$:

$$\frac{|t|}{t}=2t^2.$$

Так как $$\frac{|t|}{t}=1$$ при $$t>0$$ и $$\frac{|t|}{t}=-1$$ при $$t<0$$, рассмотрим два случая.

1. Если $$t>0$$, то

   $$1=2t^2,$$

   $$t^2=\frac12,$$

   $$t=\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Значит,

   $$\sin x=\frac{\sqrt2}{2},$$

   откуда

   $$x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. Если $$t<0$$, то

   $$-1=2t^2,$$

   что невозможно, так как $$2t^2\ge 0.$$

Следовательно, все решения задаются формулой

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$