Упр.14 Повторение ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$3\cos^2 x-2\sin 2x+\sin^2 x=0$$
Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ получаем
$$3\cos^2 x-4\sin x\cos x+\sin^2 x=0.$$
Делим на $$\cos^2 x$$ $$\left(\cos x\neq 0\right):$$
$$3-4\tg x+\tg^2 x=0.$$
Пусть $$t=\tg x,$$ тогда
$$t^2-4t+3=0,$$
$$D=16-12=4,$$
$$t_1=\frac{4-2}{2}=1,\qquad t_2=\frac{4+2}{2}=3.$$
Тогда
$$\tg x=1 \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$
$$\tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n,$$
где $$n\in\mathbb Z.$$
б) $$1+7\cos^2 x=3\sin 2x$$
$$1+7\cos^2 x=6\sin x\cos x.$$
Используем $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:
$$\sin^2 x+\cos^2 x+7\cos^2 x=6\sin x\cos x,$$
$$\sin^2 x-6\sin x\cos x+8\cos^2 x=0.$$
Делим на $$\cos^2 x$$ $$\left(\cos x\neq 0\right):$$
$$\tg^2 x-6\tg x+8=0.$$
Пусть $$t=\tg x,$$ тогда
$$t^2-6t+8=0,$$
$$D=36-32=4,$$
$$t_1=\frac{6-2}{2}=2,\qquad t_2=\frac{6+2}{2}=4.$$
Следовательно,
$$\tg x=2 \Rightarrow x=\arctg 2+\pi n,$$
$$\tg x=4 \Rightarrow x=\arctg 4+\pi n,$$
где $$n\in\mathbb Z.$$
в) $$5\sin^2 x+5\sin x\cos x=3$$
$$5\sin^2 x+5\sin x\cos x=3\sin^2 x+3\cos^2 x.$$
Тогда
$$2\sin^2 x+5\sin x\cos x-3\cos^2 x=0.$$
Делим на $$\cos^2 x$$ $$\left(\cos x\neq 0\right):$$
$$2\tg^2 x+5\tg x-3=0.$$
Пусть $$t=\tg x,$$ тогда
$$2t^2+5t-3=0,$$
$$D=25+24=49,$$
$$t_1=\frac{-5-7}{4}=-3,\qquad t_2=\frac{-5+7}{4}=\frac12.$$
Значит,
$$\tg x=-3 \Rightarrow x=-\arctg 3+\pi n,$$
$$\tg x=\frac12 \Rightarrow x=\arctg \frac12+\pi n,$$
где $$n\in\mathbb Z.$$
г) $$\frac{1}{\cos x}+\sin x=7\cos x$$
Умножим на $$\cos x$$ $$\left(\cos x\neq 0\right):$$
$$1+\sin x\cos x=7\cos^2 x.$$
Используем $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$:
$$\sin^2 x+\cos^2 x+\sin x\cos x-7\cos^2 x=0,$$
$$\sin^2 x+\sin x\cos x-6\cos^2 x=0.$$
Делим на $$\cos^2 x$$:
$$\tg^2 x+\tg x-6=0.$$
Пусть $$t=\tg x,$$ тогда
$$t^2+t-6=0,$$
$$D=1+24=25,$$
$$t_1=\frac{-1-5}{2}=-3,\qquad t_2=\frac{-1+5}{2}=2.$$
Следовательно,
$$\tg x=-3 \Rightarrow x=-\arctg 3+\pi n,$$
$$\tg x=2 \Rightarrow x=\arctg 2+\pi n,$$
где $$n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\arctg 2+\pi n,\ \arctg 4+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
в) $$x=-\arctg 3+\pi n,\ \arctg \frac12+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
г) $$x=-\arctg 3+\pi n,\ \arctg 2+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
