Упр.13 Повторение ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Пусть $$t=\cos x,$$ тогда $$2t^2-3t+1=0.$$

$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 1=1,$$

$$t_1=\frac{3-1}{2\cdot 2}=\frac12,\qquad t_2=\frac{3+1}{2\cdot 2}=1.$$

Тогда

$$\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

$$\cos x=1 \Rightarrow x=2\pi n,$$

где $$n\in \mathbb Z.$$

б) $$4\sin^2\frac{x}{2}+8\cos\frac{x}{2}-7=0.$$

Используем формулу $$\sin^2\frac{x}{2}=1-\cos^2\frac{x}{2}:$$

$$4-4\cos^2\frac{x}{2}+8\cos\frac{x}{2}-7=0,$$

$$4\cos^2\frac{x}{2}-8\cos\frac{x}{2}+3=0.$$

Пусть $$t=\cos\frac{x}{2},$$ тогда

$$4t^2-8t+3=0.$$

$$D=8^2-4\cdot 4\cdot 3=16,$$

$$t_1=\frac{8-4}{2\cdot 4}=\frac12,\qquad t_2=\frac{8+4}{2\cdot 4}=\frac32>1.$$

Подходит только $$t=\frac12,$$ значит

$$\cos\frac{x}{2}=\frac12 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,$$

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+4\pi n,$$

где $$n\in \mathbb Z.$$

в) $$4\sin^2 x-2\cos^2 x-\sin x=0.$$

Заменим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

$$4\sin^2 x-2(1-\sin^2 x)-\sin x=0,$$

$$6\sin^2 x-\sin x-2=0.$$

Пусть $$t=\sin x,$$ тогда

$$6t^2-t-2=0.$$

$$D=1+4\cdot 6\cdot 2=49,$$

$$t_1=\frac{1-7}{2\cdot 6}=-\frac12,\qquad t_2=\frac{1+7}{2\cdot 6}=\frac23.$$

Тогда

$$\sin x=-\frac12 \Rightarrow x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

$$\sin x=\frac23 \Rightarrow x=(-1)^n\arcsin\frac23+\pi n,$$

где $$n\in \mathbb Z.$$

г) $$2\sin^2 3x-7\sin 3x-4=0.$$

Пусть $$t=\sin 3x,$$ тогда

$$2t^2-7t-4=0.$$

$$D=7^2+4\cdot 2\cdot 4=81,$$

$$t_1=\frac{7-9}{2\cdot 2}=-\frac12,\qquad t_2=\frac{7+9}{2\cdot 2}=4>1.$$

Подходит только $$t=-\frac12,$$ значит

$$\sin 3x=-\frac12 \Rightarrow 3x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},$$

где $$n\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\; x=2\pi n.$$

б) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+4\pi n.$$

в) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\; x=(-1)^n\arcsin\frac23+\pi n.$$

г) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in \mathbb Z.$$