Упр.12 Повторение ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$2\sin x\cdot \cos x-2\sin x-\cos x+1=0$$

$$2\sin x(\cos x-1)-(\cos x-1)=0$$

$$(2\sin x-1)(\cos x-1)=0$$

Отсюда:

$$2\sin x-1=0 \quad \Rightarrow \quad \sin x=\frac12,$$

$$x=(-1)^n\arcsin \frac12+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

или

$$\cos x-1=0 \quad \Rightarrow \quad \cos x=1,$$

$$x=2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ: $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n;\; 2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) $$2\sin x-\sqrt3\tg x-2\sqrt3\cos x+3=0$$

$$2\sin x-2\sqrt3\cos x-(\sqrt3\tg x-3)=0$$

$$2\cos x(\tg x-\sqrt3)-\sqrt3(\tg x-\sqrt3)=0$$

$$(2\cos x-\sqrt3)(\tg x-\sqrt3)=0$$

Отсюда:

$$2\cos x-\sqrt3=0 \quad \Rightarrow \quad \cos x=\frac{\sqrt3}{2},$$

$$x=\pm \arccos \frac{\sqrt3}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,$$

или

$$\tg x-\sqrt3=0 \quad \Rightarrow \quad \tg x=\sqrt3,$$

$$x=\arctg \sqrt3+\pi n=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n;\; \frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

в) $$2\cos x-\ctg x-2\sin x+1=0$$

$$2(\cos x-\sin x)-(\ctg x-1)=0$$

$$2\sin x(\ctg x-1)-(\ctg x-1)=0$$

$$(2\sin x-1)(\ctg x-1)=0$$

Отсюда:

$$2\sin x-1=0 \quad \Rightarrow \quad \sin x=\frac12,$$

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

или

$$\ctg x-1=0 \quad \Rightarrow \quad \ctg x=1,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n;\; \frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

г) $$2\sin x\cdot \cos x+\sqrt2\cos x-\sqrt2\sin x-1=0$$

$$\sqrt2\cos x(\sqrt2\sin x+1)-(\sqrt2\sin x+1)=0$$

$$(\sqrt2\cos x-1)(\sqrt2\sin x+1)=0$$

Отсюда:

$$\sqrt2\cos x-1=0 \quad \Rightarrow \quad \cos x=\frac{\sqrt2}{2},$$

$$x=\pm \arccos \frac{\sqrt2}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,$$

или

$$\sqrt2\sin x+1=0 \quad \Rightarrow \quad \sin x=-\frac{\sqrt2}{2},$$

$$x=(-1)^{n+1}\arcsin \frac{\sqrt2}{2}+\pi n=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\; \frac{\pi}{4}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$