Упр.11 Повторение ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Используем значения обратных тригонометрических функций:

• $$\arccos 0=\frac{\pi}{2}, \quad \operatorname{arcctg}\sqrt{3}=\frac{\pi}{6}, \quad \arcsin\left(-\frac12\right)=-\frac{\pi}{6};$$
• $$\arccos(-1)=\pi, \quad \arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3}, \quad \operatorname{arcctg}\sqrt3=\frac{\pi}{6};$$
• $$\operatorname{arcctg}(-1)=\frac{3\pi}{4}, \quad \arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{5\pi}{6}, \quad \arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3};$$
• $$\arccos(-1)=\pi, \quad \arcsin 1=\frac{\pi}{2}, \quad \operatorname{arcctg}0=\frac{\pi}{2}.$$

Решение

1. $$\sin\left(\arccos 0-\operatorname{arcctg}\sqrt3-\arcsin\left(-\frac12\right)\right)$$

   $$=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1.$$

2. $$\cos\left(\arccos(-1)+\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\operatorname{arcctg}\sqrt3\right)$$

   $$=\cos\left(\pi-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)=\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

3. $$\tg\left(\operatorname{arcctg}(-1)-\arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)+\arcsin\frac{\sqrt3}{2}\right)$$

   $$=\tg\left(\frac{3\pi}{4}-\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)=\tg\frac{\pi}{4}=1.$$

4. $$\sin\left(\arccos(-1)-\arcsin 1+\operatorname{arcctg}0\right)$$

   $$=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)=\sin\pi=0.$$

Ответ

$$1;\ -\frac{\sqrt3}{2};\ 1;\ 0.$$