Упр.10 Повторение ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Подробный ответ

$$\sin \frac{5a}{2}\cdot \cos \frac{a}{2}-\sin 3a\cdot \cos \frac{\pi}{3}-\frac14$$

Используем формулу произведения в сумму:

$$\sin x\cos y=\frac12\bigl(\sin(x+y)+\sin(x-y)\bigr).$$

Тогда

$$\sin \frac{5a}{2}\cdot \cos \frac{a}{2} =\frac12\left(\sin 3a+\sin 2a\right).$$

Подставим это в выражение:

$$\frac12(\sin 3a+\sin 2a)-\frac12\sin 3a-\frac14 =\frac12\sin 2a-\frac14.$$

Представим $$\frac14$$ как $$\frac12\sin \frac{\pi}{6}$$:

$$\frac12\sin 2a-\frac14 =\frac12\left(\sin 2a-\sin \frac{\pi}{6}\right).$$

Применим формулу разности синусов:

$$\sin u-\sin v=2\cos \frac{u+v}{2}\sin \frac{u-v}{2}.$$

Получаем

$$\frac12\left(\sin 2a-\sin \frac{\pi}{6}\right) =\frac12\cdot 2\cos\left(a+\frac{\pi}{12}\right)\sin\left(a-\frac{\pi}{12}\right).$$

Значит,

$$\sin \frac{5a}{2}\cdot \cos \frac{a}{2}-\sin 3a\cdot \cos \frac{\pi}{3}-\frac14 =\cos\left(a+\frac{\pi}{12}\right)\sin\left(a-\frac{\pi}{12}\right).$$

При $$a=\frac{\pi}{4}$$:

$$\cos\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{12}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{12}\right) =\cos \frac{\pi}{3}\cdot \sin \frac{\pi}{6} =\frac12\cdot \frac12=\frac14.$$