Упр.9.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=x^{2/3}$$:
   а) на отрезке $$[1; 8]$$;
   в) на луче $$[1; +\infty)$$;
   б) на интервале $$(3; 5)$$;
   г) на полуинтервале $$(0; 1]$$.

Функция $$y=x^{-\frac{2}{3}}$$ при $$x>0$$ убывает, так как показатель степени отрицательный.

1. На отрезке $$[1;8]$$ наибольшее значение достигается в левой границе, а наименьшее — в правой:

   $$y(1)=1^{-\frac{2}{3}}=1,$$

   $$y(8)=8^{-\frac{2}{3}}=(2^3)^{-\frac{2}{3}}=2^{-2}=\frac14.$$

   Ответ: $$y_{\min}=\frac14,\; y_{\max}=1.$$

2. На интервале $$\left(3;5\right)$$ функция убывает, но границы интервала не входят в область рассмотрения, поэтому наименьшее и наибольшее значения не достигаются.

   Ответ: наименьшего и наибольшего значений нет.

3. На луче $$[1;+\infty)$$ наибольшее значение достигается при $$x=1$$:

   $$y(1)=1^{-\frac{2}{3}}=1.$$

   При $$x\to+\infty$$ значение функции стремится к $$0$$, но не достигает его.

   Ответ: $$y_{\max}=1,$$ наименьшего значения нет.

4. На полуинтервале $$\left(0;1\right]$$ наибольшее значение достигается при $$x=1$$:

   $$y(1)=1^{-\frac{2}{3}}=1.$$

   При $$x\to 0+$$ функция неограниченно возрастает, поэтому наименьшего значения нет.

   Ответ: $$y_{\max}=1,$$ наименьшего значения нет.