Упр.9.8 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=x^{5/2}$$:

а) на луче $$[0;+\infty)$$;

в) на отрезке $$[1;2]$$;

б) на полуинтервале $$[1;3)$$;

г) на полуинтервале $$(6;8]$$.

Функция $$y=x^{\frac52}$$ при $$x\ge 0$$ монотонно возрастает, поэтому на каждом из указанных промежутков наименьшее значение достигается в левой границе, а наибольшее — в правой, если она входит в промежуток.

Ход решения

1. На луче $$[0;+\infty)$$:

   $$y(0)=0^{\frac52}=0.$$

   Наибольшего значения нет, так как функция не ограничена сверху.

2. На полуинтервале $$[1;3)$$:

   $$y(1)=1^{\frac52}=1.$$

   Наибольшего значения нет, так как точка $$x=3$$ не входит в промежуток.

3. На отрезке $$[1;2]$$:

   $$y(1)=1^{\frac52}=1,$$

   $$y(2)=2^{\frac52}=2^2\cdot 2^{\frac12}=4\sqrt2.$$

4. На полуинтервале $$\left(6;8\right]$$:

   Наименьшего значения нет, так как точка $$x=6$$ не входит в промежуток.

   $$y(8)=8^{\frac52}=(2^3)^{\frac52}=2^{\frac{15}{2}}=2^7\cdot 2^{\frac12}=128\sqrt2.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}$$ — нет;
б) $$y_{\min}=1,$$ $$y_{\max}$$ — нет;
в) $$y_{\min}=1,$$ $$y_{\max}=4\sqrt2$$;
г) $$y_{\min}$$ — нет, $$y_{\max}=128\sqrt2$$.