Упр.9.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $$y=x^{1/4}$$: а) на отрезке $$[0;1]$$; в) на интервале $$(2;3)$$; б) на луче $$[1;+\infty)$$; г) на полуинтервале $$(5;16]$$.

Функция $$y=x^{\frac14}$$ при $$x\ge 0$$ монотонно возрастает, поэтому на отрезке наименьшее значение достигается в левой границе, а наибольшее — в правой.

1. На отрезке $$[0;1]$$:

   $$y(0)=0^{\frac14}=0,$$

   $$y(1)=1^{\frac14}=1.$$

   Ответ: $$y_{\min}=0,\quad y_{\max}=1.$$

2. На луче $$[1;+\infty)$$:

   при $$x\to +\infty$$ значение функции неограниченно возрастает, а наименьшее значение достигается при $$x=1$$:

   $$y(1)=1^{\frac14}=1.$$

   Ответ: $$y_{\min}=1,\quad y_{\max}$$ не существует.

3. На интервале $$\left(2;3\right)$$:

   концы интервала не входят в область рассмотрения, а функция возрастает, значит ни наименьшего, ни наибольшего значения нет.

   Ответ: $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}$$ не существует.

4. На полуинтервале $$\left(5;16\right]$$:

   наибольшее значение достигается в правой границе:

   $$y(16)=16^{\frac14}=\left(2^4\right)^{\frac14}=2.$$

   Левая граница не входит в промежуток, поэтому наименьшего значения нет.

   Ответ: $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=2.$$