Упр.9.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Исследуйте степенную функцию на монотонность: а) $$y=x^{12}$$; б) $$y=x^{-\frac{1}{6}}$$; в) $$y=x^{-11}$$; г) $$y=x^{\frac{1}{7}}$$.

Исследуем каждую функцию по производной.

1. $$y=x^{12}$$

   $$y’=(x^{12})’=12x^{11}$$

   При $$x<0$$ имеем $$y'<0$$, а при $$x>0$$ имеем $$y’>0$$. Значит, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty)$$.

2. $$y=x^{-\frac16}$$

   Область определения: $$x>0$$.

   $$y’=\left(x^{-\frac16}\right)’=-\frac16x^{-\frac76}$$

   Так как при $$x>0$$ производная отрицательна, функция убывает на $$\left(0;+\infty\right)$$.

3. $$y=x^{-11}$$

   Область определения: $$x\neq 0$$.

   $$y’=\left(x^{-11}\right)’=-11x^{-12}$$

   При всех $$x\neq 0$$ имеем $$y'<0$$, значит, функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и на $$\left(0;+\infty\right)$$.

4. $$y=x^{\frac17}$$

   Область определения: $$x\in\mathbb{R}$$.

   $$y’=\left(x^{\frac17}\right)’=\frac17x^{-\frac67}$$

   Для $$x>0$$ производная положительна, а функция $$x^{\frac17}$$ возрастает на всей области определения. Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$.

Ответ

а) убывает на $$(-\infty;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty)$$;
б) убывает на $$\left(0;+\infty\right)$$;
в) убывает на $$(-\infty;0)$$ и $$\left(0;+\infty\right)$$;
г) возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$.