Упр.9.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Исследуйте степенную функцию на ограниченность: а) $$y=x^8$$; б) $$y=x^{-\frac{3}{4}}$$; в) $$y=x^{-5}$$; г) $$y=x^{\frac{2}{5}}$$.

Исследуем каждую функцию на ограниченность.

1. $$y=x^8.$$

   Так как $$x^8\ge 0$$ при любом $$x\in \mathbb{R},$$ то функция ограничена снизу. Наименьшее значение достигается при $$x=0$$:

   $$y_{\min}=0.$$

   Ответ: ограничена снизу.

2. $$y=x^{-\frac34}=\frac{1}{x^{\frac34}}.$$

   Область определения: $$x>0.$$ При $$x\to +\infty$$ имеем

   $$x^{-\frac34}\to 0,$$

   а при $$x\to 0+$$ значение функции неограниченно возрастает. Значит, функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.

   Ответ: ограничена снизу.

3. $$y=x^{-5}=\frac{1}{x^5}.$$

   Область определения: $$x\ne 0.$$ При $$x\to 0+$$ функция стремится к $$+\infty,$$ а при $$x\to 0-$$ — к $$-\infty.$$ Следовательно, функция не ограничена ни сверху, ни снизу.

   Ответ: не ограничена.

4. $$y=x^{\frac25}.$$

   Так как $$x^{\frac25}=\sqrt[5]{x^2}\ge 0$$ при любом $$x\in \mathbb{R},$$ то функция ограничена снизу. Наименьшее значение достигается при $$x=0$$:

   $$y_{\min}=0.$$

   Ответ: ограничена снизу.