Упр.9.48 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. На графике функции $$y=x-\frac{2}{3}-\frac{1}{3}х$$ выбирают произвольную точку $$M$$ и соединяют с началом координат $$O$$. Строят прямоугольник, диагональю которого является отрезок $$OM$$, а две стороны расположены на осях координат. Найдите наименьшее значение периметра такого прямоугольника.

Пусть точка $$M(x;y)$$ лежит на графике функции

$$y=x^{-\frac23}-\frac13x.$$

Тогда стороны прямоугольника равны $$x$$ и $$y$$, а его периметр

$$P=2x+2y=2x+2\left(x^{-\frac23}-\frac13x\right)=\frac43x+2x^{-\frac23}.$$

Найдём минимум функции $$P(x)$$ при $$x>0$$:

$$P'(x)=\frac43- \frac43x^{-\frac53}=\frac43\left(1-x^{-\frac53}\right).$$

Приравниваем производную к нулю:

$$1-x^{-\frac53}=0 \quad \Rightarrow \quad x^{-\frac53}=1 \quad \Rightarrow \quad x=1.$$

Это точка минимума, так как при $$x<1$$ производная отрицательна, а при $$x>1$$ положительна.

Тогда

$$P_{\min}=P(1)=\frac43\cdot 1+2\cdot 1=\frac43+2=\frac{10}{3}.$$

Ответ

$$\frac{10}{3}$$