Упр.9.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном промежутке: а) $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x$$, $$[1;9]$$; б) $$y=\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}-x$$, $$(0;8)$$; в) $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x$$, $$(1;9)$$; г) $$y=\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}-x$$, $$[0;8]$$.

а) $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x,\quad [1;9].$$

Найдём производную:

$$y'(x)=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}-2=\sqrt{x}-2.$$

Критическая точка на отрезке:

$$\sqrt{x}-2=0,\quad \sqrt{x}=2,\quad x=4.$$

Вычислим значения функции в концах отрезка и в критической точке:

$$y(1)=\frac{2}{3}\cdot1\cdot1-2=-\frac{4}{3},$$

$$y(4)=\frac{2}{3}\cdot4\cdot2-8=-\frac{8}{3},$$

$$y(9)=\frac{2}{3}\cdot9\cdot3-18=0.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-\frac{8}{3},\quad y_{\max}=0.$$

б) $$y=\frac{3}{2}x^{2/3}-x,\quad (0;8).$$

Найдём производную:

$$y'(x)=\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}x^{-1/3}-1=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1.$$

Критическая точка:

$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1=0,\quad \sqrt[3]{x}=1,\quad x=1.$$

На промежутке $$(0;8)$$ функция возрастает при $$0<x\le 1$$ и убывает при $$1\le x<8.$$ Поэтому наибольшее значение достигается в точке $$x=1$$:

$$y(1)=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}.$$

Наименьшее значение на открытом промежутке не достигается, так как при $$x\to 0+$$ имеем $$y\to 0,$$ но точка $$x=0$$ не входит в промежуток.

Следовательно, $$y_{\max}=\frac{1}{2},\quad y_{\min}$$ не существует.

в) $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2x,\quad (1;9).$$

Производная та же:

$$y'(x)=\sqrt{x}-2.$$

Критическая точка $$x=4$$ принадлежит промежутку. Найдём значение функции:

$$y(4)=\frac{2}{3}\cdot4\cdot2-8=-\frac{8}{3}.$$

Так как на промежутке $$(1;4)$$ функция убывает, а на $$(4;9)$$ возрастает, то в точке $$x=4$$ достигается минимум. Максимум на открытом промежутке не достигается.

Итак, $$y_{\min}=-\frac{8}{3},\quad y_{\max}$$ не существует.

г) $$y=\frac{3}{2}x^{2/3}-x,\quad [0;8].$$

Производная:

$$y'(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1.$$

Критическая точка:

$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}}-1=0,\quad x=1.$$

Вычислим значения функции в точках $$0,1,8$$:

$$y(0)=0,$$

$$y(1)=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2},$$

$$y(8)=\frac{3}{2}\cdot4-8=-2.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-2,\quad y_{\max}=\frac{1}{2}.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=-\frac{8}{3},\ y_{\max}=0$$; б) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=\frac{1}{2}$$; в) $$y_{\min}=-\frac{8}{3},\ y_{\max}$$ не существует; г) $$y_{\min}=-2,\ y_{\max}=\frac{1}{2}$$.